开放世界多智能体环境中的自主数学发现

Stephen Chung

DualverseAI；剑桥大学

Wenyu Du

DualverseAI；香港大学

William J. Wesley

摘要

我们研究了 Station 中的自主数学发现。Station 是一个开放世界多智能体环境，来自不同模型家族的 AI 智能体在没有中央协调者或脚本化流水线的情况下，共同追求一个共享的研究目标。智能体自行选择研究方向、开展实验、相互协作，并构建共享的科学文献体系。在 AlphaEvolve 目录中的 12 个构造问题以及另外两个案例研究中，Station 在五个问题上获得了相对于既有文献而言的新结果：有限域 Kakeya 集的一个新无限族、11 维空间中新的精确 604 点 kissing 构型、离散化 Kakeya 针问题和符号不确定性问题的全新纪录，以及 Erdős 最小重叠问题的一个大幅改进的下界。智能体还发现了 Book Ramsey 数的新无限族。重要的是，智能体不仅产出了数值构造，还产出了解释这些构造原理的定理和分析，使结果更具可解释性，也便于数学家在此基础上进一步推进。我们发布了所有原始智能体对话、证明和验证代码，为这些发现的产生过程提供了透明的记录。

1 引言

人工智能开始直接为数学研究的前沿做出贡献。近期工作涵盖从 AlphaEvolve 的大规模数学探索，到 AI 辅助解决长期悬而未决的开放问题，包括 Jacobian 猜想的反例、Crouzeix 猜想和 Sendov 猜想的证明，以及 OpenAI 近期报告的一组共十个数学结果 [58, 62, 1, 49, 54]。随着这些能力不断增长，一个自然的问题不仅是 AI 能解决哪些问题，还包括什么样的环境最能让它开展研究。

鉴于人工智能能力日益增强，我们提出这样一个问题：我们能否构建一个自由的多智能体环境，在其中智能体仅被赋予一个研究目标，而没有中央协调者？当一个环境将 AI 智能体视为独立的研究者，而非复杂流水线中的固定工具时，会发生什么？这种自由能否让智能体自行选择有前景的方向、发展自己的科学文献和研究文化，并共同推进既定目标？

为了研究这个问题，我们使用了 Station——一个用于自主科学发现的开源多智能体环境 [16]。Station 模拟了一个科学生态系统，来自不同模型家族的智能体在其中自行选择研究方向、开展实验、与同行交流，并阅读和发表科学论文。这些论文会积累成一个共享的知识体系，后续的智能体可以阅读、引用并在此基础上进行扩展。Station 只规定研究目标；没有任何中央系统告诉智能体该追求哪个研究方向或下一步该做什么。

我们将 Station 应用于 AlphaEvolve 研究中的 12 个问题，以及另外两个数学案例研究。在 12 个 AlphaEvolve 问题中，有 5 个产生了相对于先前文献而言的新颖结果。Station 发现了一个新的有限域 Kakeya 集合无限族，构造了维度 11 中三个精确的 604 点亲吻构型，并为离散化 Kakeya 针、符号不确定性和 Erdős 最小重叠问题建立了新的界。在另一个关于 Book Ramsey 数的独立案例研究中，智能体发现并证明了新颖的无限族，由此产生了一篇独立的后续论文。Station 还在一天之内、无需联网的情况下找到了 Jacobian 猜想的一个有效反例，证明它能够处理仅以二元成功标准而非分级优化信号来评判的问题。

这种高度自由度让智能体能够追求更广泛的数学贡献，而不仅仅是优化某个固定指标。例如，AlphaEvolve 在有限多个素数上评估了有限域 Kakeya 构造；有希望的数值模式随后需要一条针对特定任务、由研究者辅助的流程，才能成为无限族。由于 Station 智能体可以直接追求更广泛的数学目标，它们独立地重新发现并证明了该族，随后又发现了一个新的扩展，覆盖了额外一类素数。同样的自由度也让智能体得以探索既定目标之外的领域。例如，尽管我们要求智能体为 Erdős 最小重叠问题寻找改进的上界，它们反而提出了一个新的下界证明。

在本研究中，我们只考虑数学构造类任务，而非一般性的数学问题（如证明猜想）。定理层面的结果是在智能体试图解释并推广它们所发现的构造时涌现出来的。例如，Station 并没有只返回一个不透明的 604 点 kissing 构型，而是推导出了该构型的显式代数构造，使数学家更容易理解这一结果。在证明大量涌现的时代，当交流、消化和整合新成果成为主要瓶颈时 [79, 44]，这类可解释的输出可能会变得越来越有价值。

我们还分析了这些发现背后的 AI 发现过程。分析显示，超过一半的发现涉及智能体之间的协作。来自不同模型家族的智能体往往贡献互补的想法，而早期智能体撰写的论文则成为后来很久才做出的发现的基础。许多重要成果都得益于每个 Station 内部积累的大量内部文献。我们公开了所有原始智能体对话和可复现代码，让社区能够透明地研究这些发现过程。

2 方法

The Station 是一个开放世界的多智能体环境，用于模拟一个微型科学社区[16]。它被划分为多个房间，每个房间承担不同功能，例如用于发表和阅读科学论文的档案室、用于运行代码的研究中心，以及用于与同行交流的邮件室。表 1 总结了主要房间及其功能。智能体可以自由访问不同房间并执行不同操作。在每个回合中，所有智能体同时选择各自的动作，所有动作完成后时间推进一个 tick。每个智能体都有有限的寿命；当某个智能体寿命终结时，The Station 会自动生成一个替代者，从而保持智能体数量恒定。

The Station 将每个智能体视为独立的研究人员。智能体可以在研究中心访问分配给 The Station 的主要研究目标。然而，如何实现这一目标则完全由每个智能体自行决定。智能体可以自由探索不同的研究方向、阅读已有论文，并且在其研究过程中往往会经历大量的挣扎与失败。一个成功的智能体可能会做出重要发现，在这种情况下，它可以在档案室发表论文，为 The Station 的长期知识积累做出贡献。这些论文随时间不断累积，在 The Station 内部形成一个知识库，后来的智能体可以阅读、引用并在此基础上继续推进，从而使得一个微型科学社区能够围绕给定的研究目标逐步发展起来。

与当前主流的基于智能体的科学发现系统相比 [58, 50, 30, 70, 35, 31, 61]，Station 主要有三点不同。首先，其智能体拥有更大的自主性：在给定的总体研究目标范围内，它们自行选择研究方向以及如何推进，而非从中央协调器接收任务。其次，每个智能体都扮演完整的科研人员角色，从选定方向、开展实验到发表论文，负责整个研究流程。这种漫长而自主的研究旅程，使得各智能体之间的研究成果比僵化、碎片化的研究流程更具多样性。第三，Station 能够以智能体撰写的论文形式，让科学知识跨代积累。而大多数现有系统积累的是过程信息，例如优化历史、中间产物或会话记忆。这类信息有助于系统继续工作，但可能难以便捷地提取和积累科学知识。这些差异反映了设计哲学上的根本选择：AI 智能体是被视为固定流程中的工具，还是科学生态系统中的科研人员。

自原论文发表以来，我们对 Station 进行了大量改进和扩展。这些变化的总体主题是鼓励新颖但有原则的探索，同时减少非科学性的负担。例如，我们引入了新的“提问室”（Question Room），智能体可以在其中提出自己的问题，并对其他智能体的答案进行投票，从而拓宽科学探索的范围。智能体还会定期获得假期，在此期间它们会搁置手头的工作，并接收旨在激发开放式思考的随机提示。我们还为智能体提供了编程助手，使它们无需花费时间在底层编码或调试上，而可以专注于科学任务本身，这与如今研究人员使用编程助手的方式类似。这些变化在附录 A 中有详细讨论。完整源代码已在 https://github.com/dualverse-ai/station 公开提供。

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房间	功能
研究
研究中心	阅读分配的任务，开发并运行代码，然后提交解决方案以供评估。
反思室	回应自行设计的提示词，以鼓励进行更深入的反思。
沟通
邮件室	与其他智能体直接、私下沟通。
公共记忆室	参与持续性的公共讨论，类似于在线论坛。
公共休息室	参与非持续性的公共讨论，类似于群聊。
知识
私人记忆室	存储私人文档，例如计划、笔记和论文草稿。
档案室	阅读科学论文，并发表通过自动评审的论文。
问答室	提问并对答案进行投票，类似于 Stack Exchange。
外部柜台	通过互联网访问基于外部文献的报告；默认情况下禁用。

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问题	来源	发现
相对于先前文献的新颖结果
有限域 Kakeya（第 4.1 节）	AlphaEvolve 问题 6.1	对于每个素数 ，Station 在中构造了一个大小为 的 Kakeya 集，比 AlphaEvolve 的无限族节省了 个点。它还在 中找到了一个 点集，改进了 AlphaEvolve 和先前文献的界限 ；这两者相对于文献而言似乎都是新颖的。$p\equiv 3\left(mod4\right)$${𝔽}_p^3$$\left(2p^3+7p^2+3\right)/8$$\left(p-3\right)/4$$53$${𝔽}_3^5$$63$
Erdős 最小重叠（第 4.2 节）	AlphaEvolve 问题 6.5	AlphaEvolve 仅将上界略微降低，从 降至 ，而 Station 将下界从 提高至 。相对于已发表的下界 ，这大约填补了相应已发表差距的 。$0.380927$$0.380924$$0.37912$$0.380552$$0.37912$$82\%$
中的接吻数（第 4.3 节）$d=11$	AlphaEvolve 问题 6.8	AlphaEvolve 将下界从 提高至 ，而 Station 构造了三个精确的 点配置。其中一个是 EinsteinArena 构造的独立重新发现，而另外两个似乎代表了新颖的等距类。$592$$593$$604$
离散化 Kakeya 针（第 4.4 节）	AlphaEvolve 问题 6.9	在 时，Station 获得了并集面积 ，比 AlphaEvolve 的 改进了 ，比 HorizonMath 的 改进了 。这确立了新的文献上界。$n=128$$0.107067$$0.114810$$6.74\%$$0.109148$$1.91\%$
符号不确定性原理（第 4.5 节）	AlphaEvolve 问题 6.11	The Station 将上界降低至 ，改进了 AlphaEvolve 的结果以及此前公布的人类最优值 。这是新的文献纪录。$0.3089$$0.321591$$0.3102$
优于 AlphaEvolve
Hardy–Littlewood 极大不等式（第 4.6 节）	AlphaEvolve 问题 6.18	The Station 达到了 ，而 AlphaEvolve 在无提示下为 ，在带提示下约为 ，但该中心化问题此前已被解决。其关于非切向常数等于 的证明，相对于现有文献而言似乎是新颖的。$1.557069$$1.5080$$1.533$$2$$1/3\le \alpha <1$
卵形线问题（第 4.7 节）	AlphaEvolve 问题 6.19	AlphaEvolve 仅恢复了圆形，而 The Station 恢复了完整的非圆等号卵形线族。该族在文献中已知，因此该结果仅相对于 AlphaEvolve 是新颖的。
素数定理（第 4.8 节）	AlphaEvolve 问题 6.27	The Station 对所有 完成了验证，改进了 AlphaEvolve 的采样得分 。这对于有限权重基准而言是新的结果；在无限制情形下，素数定理已给出精确极限 。$0.980681$$x$$0.938$$1$
与 AlphaEvolve 持平
差分基（第 4.9 节）	AlphaEvolve 问题 6.7	The Station 独立恢复了 AlphaEvolve 的 元素构造，但未对其作出改进。$360$
Sidorenko 猜想（第 4.10 节）	AlphaEvolve 问题 6.26	AlphaEvolve 和 The Station 均未找到反例。未获得实质性结果。
不如 AlphaEvolve
峰值自卷积（第 4.11 节）	AlphaEvolve 问题 6.2	The Station 得到 ，弱于 AlphaEvolve 的 。未获得实质性结果。$C_{6.2}\le 1.504473$$C_{6.2}\le 1.5032$
平坦自卷积（第 4.12 节）	AlphaEvolve 问题 6.3	The Station 得到 ，弱于 AlphaEvolve 的 ，但证明了无限制上确界可以通过在越来越细的网格上使用二元阶梯函数来逼近。$C_{6.3}>0.953189$$C_{6.3}\ge 0.961021$
更多案例研究
书式 Ramsey 数（第 4.13 节）	Epoch AI	The Station 独立发现并证明了两族新的无限族。其有限构造以及一个更早的恒等式还使一位外部专家推导出了第三族。三族合在一起，在 43 个 值上证明了该猜想，解决了 28 个此前未解决的问题。$n\le 200$
Jacobian 猜想（第 4.14 节）	公开	在无需公式的二元任务中，Station 独立重构了近期公布的七次反例，并推导出其常数雅可比行列式与三叶纤维的几何解释。

3 结果

3.1 实验设置

我们使用 Georgiev 等人 [29] 的 AlphaEvolve 研究中选取的数学问题来评估 Station，该研究涵盖分析、组合学、几何和数论等多个领域的广泛问题目录。大多数问题可以表述为对某个数值量的上界或下界进行优化：候选构造由自动化评估器检查并赋予数值分数（通常为标量），搜索过程以此分数为优化目标。在许多情况下，最优值是未知的，这使得相应的优化任务成为开放研究问题。

我们选取了 12 个代表不同数学领域和问题结构的问题；完整的问题评估列表见表 2。我们将每个问题分配给一个独立的 Station 实例。对于每个问题，智能体会收到一份任务描述，其中既包含数学问题本身，也包含评估器函数。任务描述还可能指定无法直接评分的额外数学目标。智能体不会获得任何外部专家指导或文献综述。大多数实例运行约 1,000–2,000 个 tick，对应大约一到两周的连续墙钟时间。除非另有说明，所有实例均包含六名研究智能体，其中各两名分别由 GPT-5.5、Claude Opus 4.8 和 Gemini 3.1 Pro 驱动。

3.2 研究结果摘要

结果汇总于表 2。根据每次运行的主要结果，12 个问题中有 5 个产生了相对于先前文献而言的新颖结果。在其余 7 个问题中，Station 在 3 个问题上优于 AlphaEvolve，在 2 个问题上与其持平，在 2 个问题上表现不及。

这五个问题产生的新颖结果横跨数学的多个领域。在有限几何中，Station 针对素数 推导出了一个全新的无限族 Kakeya 集，并找到了一个包含 53 个点的 Kakeya 集，将此前 63 个点的界限予以改进。在离散几何中，它构造出了三个精确的 604 点 11 维 kissing 构型，其中两个似乎定义了此前未知的等距类，并为离散化 Kakeya 针问题确立了新的界限。在分析学中，它将符号不确定性上界改进至 ，并填补了 Erdős 最小重叠常数此前开放差距中约 的部分。${𝔽}_p^3$$p\equiv 3\left(mod4\right)$${𝔽}_3^5$$C_T\left(128\right)\le 0.107067$$0.3089$$82\%$

除了这 12 个 AlphaEvolve 问题之外，我们还研究了另外两个案例。对于 Book Ramsey 数，Station 智能体发现并证明了两个新颖的无限族，而它们的有限构造与一个早先的恒等式使外部专家得以推导出第三个无限族。这三个族合在一起，在 43 个 值上证明了该猜想，解决了其中 28 个此前悬而未决的情形。对于 Jacobian 猜想，Station 从一个无公式的二元任务中独立重构了最近公布的七次反例，并推导出其常数 Jacobian 与三叶纤维的几何解释。$n\le 200$

这些结果还表明，Station 可以直接追求更广泛的数学目标，而这些目标不一定是可评分的。例如，前述有限域 Kakeya 问题的无限族结果就不是直接可评分的，尽管新的无限族正是人们关注的数学对象。因此，AlphaEvolve 是在有限多个素数上评估构造，并依赖特定任务的流水线，再加上研究人员的参与，才能将有希望的输出转化为无限族。相比之下，在 Station 中，我们直接在任务描述中说明有限构造只是测试用例，主要目标是发现无限族。这使得智能体独立地重新发现了此前通过 AlphaEvolve 及后续研究人员辅助流水线获得的无限族，并发现了该族的一个新扩展，从而对另一类素数改进了构造。运行结束后，我们的角色仅限于核验他们证明的有效性和结果的新颖性。这大大减轻了研究人员的负担，也使 Station 能够适用于更广泛的数学问题。

这些结果进一步表明，Station 还能在原始任务之外产生意想不到的贡献。例如，在 Erdős 的最小重叠问题中，智能体被指示改进上界，但它们还发展出了一个下界证明，将开放区间大约闭合了一部分。这一意外发现体现了 Station 的另一个优势：智能体可以围绕给定问题探索数学上有前景的方向，并产生超出分配任务的贡献，例如新的定理。$82\%$

与 AlphaEvolve 相比，我们发现 Station 智能体倾向于偏好理论引导的构造方式。这些实验中的单项评估通常限制在 15–30 分钟内，这形成了强烈的动机去利用数学结构来缩减搜索空间。例如，在维度 11 的接吻数任务中，智能体将问题简化为围绕一个结构化整数核心的直线上的有限兼容性搜索。这种缩减后的搜索在几分钟内就产生了一个 604 点的构型，智能体随后将其转化为一个无需计算机搜索的显式代数构造。这与 AlphaEvolve 的 593 点构型形成鲜明对比，后者的坐标是大规模、不等范数的整数，无法揭示出同样紧凑的代数描述或易于识别的组织结构 [29]。这种偏好并非在所有情况下都具有优势。在 Station 表现不如 AlphaEvolve 的峰值和平面自卷积问题上，似乎更青睐对高度不规则对象进行持续、大规模的启发式优化。因此，首选系统取决于问题的结构和期望的输出。当最强解主要是通过长时间数值优化发现的不规则产物时，大规模进化搜索可能更优。相比之下，当理论能够引导搜索，或者当相关定理和可解释的构造与基准分数同等重要时，Station 可能更具优势。

下一节将展示每个问题的详细结果。所有支撑性证明、验证产物和原始智能体对话均可在 https://github.com/dualverse-ai/station_data_v2 获取。

4 详细结果

本节针对每个问题给出最重要的发现。由于 Station 每次运行都会产生大量发现，我们将正文限定在外部研究人员可能感兴趣的结果上。我们首先使用 Station 外部的智能体对发现进行自动筛选。若某项发现能在原问题上推进前沿——例如改进已知界、回答文献中此前提出的问题，或具有通常足以纳入研究论文的更广泛变体——则通过筛选。随后我们对筛选结果进行人工复核，并从中选出最重要的发现呈现在这里。我们将这些入选结果称为“聚焦发现”，并在下文每个问题内依次标注为 S1、S2 等。意义边缘或不确定的发现仍记录在随附的 notebook 中。对发现过程比对数学细节更感兴趣的读者可直接跳到第 5 节。

4.1 有限域 Kakeya

中的 Kakeya 集是指包含每个方向上一条完整直线的集合，问题在于如何构造尽可能小的此类集合。Dvir 对有限域 Kakeya 猜想的证明 [21] 确立了阶为 的下界。此后 Bukh 和 Chao [13] 的工作解决了首项渐近常数，表明该常数在每个固定维度下均为 ，因此在 维度下也为 。仍未解决的是该首项的低阶修正项。因此，能够改进 项及更小项的精确构造，即便首项常数已定，仍可进一步收紧已知最优界。${𝔽}_p^d$$p^d$$2^{-\left(d-1\right)}$$1/4$$3$$p^{d-1}$

AlphaEvolve 将这一问题作为其问题集 6.1 提出，要求构造小型 Kakeya 集。在该问题集中，构造的得分由固定素数列表上 的平均值决定，其中 是 Bukh 和 Chao [13] 记录的经典构造的大小。我们向 Station 提供了相同的问题和相同的评分标准，并同时覆盖 3、4、5 三个维度。它证明了 中一个新的无限 Kakeya 集族，在 中找到了一个含 53 个点的 Kakeya 集，并为新构造背后的整个单极点族确立了一个结构性极限。$\left|K_p\right|/B_{p,d}$$B_{p,d}=\left(p-1\right){\left(\frac{p+1}{2}\right)}^{d-1}+p^{d-1}$$d=3$${𝔽}_3^5$

S1. 中 的新无限族。$d=3$$p\equiv 3\left(mod4\right)$

该站点证明了：对于每个素数，都存在一个大小为 的 Kakeya 集。若记 为包含 的 的平方数集合，则该集合为$p\equiv 3\left(mod4\right)$${𝔽}_p^3$$\left(2p^3+7p^2+3\right)/8$$S$${𝔽}_p$$0$

	$K_p=\phantom{}$	$\left\{\right(x,y,z):x{}^2+4y\in S,x{}^2+4z\in S\}$
		$\cup \left\{\right(0,t,ct+z\left(c\right)):t\in 𝔽{}_p,c\ne 1\}$
		$\cup \left\{(0,t,t)\right\}\cup \left\{(0,0,z)\right\},z\left(c\right)=\frac{c}{c-1}.$

第一部分是经典的二次剩余集，它已经覆盖了 方向；在平面中添加的直线则覆盖了剩余的 方向。值得注意的是，定义中没有任何部分依赖于模 ，而智能体证明了该集合对每个奇数 都是 Kakeya 集。不过，其大小确实依赖于模 ，具体取决于 是否为平方数，我们记录下这两种情况：$p^2$$(1,a,b)$$x=0$$p+1$$p$$4$$p$$p$$4$$-1$

$\left|K_p\right|=\frac{2p^3+7p^2-1}{8}\left(p\equiv 1mod4\right),\left|K_p\right|=\frac{2p^3+7p^2+3}{8}\left(p\equiv 3mod4\right).$

(1)

该维度下的经典构造有 个点，因此节省的点数为：当 时为 个点，当 时为 个点。特别地，这是一个精确的大小，而文献中在此处留有误差项 [13]。$\left(2p^3+10p^2-2p-2\right)/8$$\left(3p^2-2p-1\right)/8$$p\equiv 1$$\left(3p^2-2p-5\right)/8$$p\equiv 3$$O\left(p\right)$

AlphaEvolve 通过不同的路径处理了这个问题，我们发现这两种构造在一种情况下一致，在另一种情况下则不一致。对于 的情况，两种构造大小相同，事实上是同一个集合。一个线性坐标变换可以将一个变为另一个，因此 (1) 的第一种情况是对该处所得界限的独立重新发现。对于 的情况，两者不同。AlphaEvolve 的无限族在该类上给出的最小大小为 ，而我们的为 ，节省了 个点。即在 处节省 1 个点，在 处节省 11 个点，后者是该基准测试中此类最大的素数。因此，(1) 的第二种情况是新的，并给出了当前文献中最佳的无限族界限。$p\equiv 1\left(mod4\right)$$\frac{1}{4}{p}^3+\frac{7}{8}{p}^2-\frac{1}{8}$$p\equiv 3\left(mod4\right)$$\left(2p^3+7p^2+2p-3\right)/8$$\left(2p^3+7p^2+3\right)/8$$\left(p-3\right)/4$$p=7$$p=47$

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S2. 有限改进与 中的一个 53 点 Kakeya 集。${𝔽}_3^5$

The Station 在 25 项有限基准比较中赢得 14 项，并在其余 11 项中打平（图 1）。每项比较均以 AlphaEvolve 和 AlphaEvolve 之前的文献中的较优者作为基线。该案例尤其值得注意。设 表示 中 Kakeya 集的最小规模。The Station 在 中构造了一个 53 点集合，将此前上界从 改进为 [46]。鉴于已知值 、 和 ，以及被认为已达到最优的界 ，人们曾在 2009 年猜测该递推关系会继续成立，并据此预测 [46]。因此，The Station 构造的规模恰好与猜测值一致，不过 () 是否成立以及递推关系是否延续仍是未解问题。$(d,p)=(5,3)$$k_n$${𝔽}_3^n$${𝔽}_3^5$$k_5\le 63$$k_5\le 53$$k_1=3$$k_2=7$$k_3=13$$k_4\le 27$$k_n=k_{n-1}+2k_{n-2}$$k_5=53$$k_5=53$

S3. 新无限族的结构分析。

这些智能体还对新无限族产生了相关洞见。它们分析了更一般的补全

$z\left(c\right)=\frac{Ac+B}{c-p_1},$

该补全包含了 S1 中的构造。消去斜率后，与这些直线的相交情况归结为$c$

${\left(z-A-p_{1}y\right)}^2-4\left(A{p}_1+B\right)y$

是否为平方数。二次特征计算随后表明，这些直线恰好覆盖了轴以外的 个点，与三个参数无关。它们与构造中二次剩余部分的重叠始终为 。因此，该 Möbius 族中的每一个非退化补全都会增加 个点：改变分子或极点的位置只会影响低阶项。$p\left(p-1\right)/2$$p^2/8+O\left(p\right)$$3p^2/8+O\left(p\right)$

对于 S1 中使用的特定选择，智能体精确计算了低阶项，从而得到 (1) 中给出的无限族。该结果也解释了 AlphaEvolve 在 情况下的无限族。更一般地，族级估计表明，要在总规模上改进 项，就必须离开单极点族。$z\left(c\right)=c/\left(c-1\right)$$p\equiv 1\left(mod4\right)$$p^2$

局限性。

新无限族仅限于 。在 4 维和 5 维中，智能体证明的公式弱于已有结果。在共享类别上，前两个系数在每个维度上都与 AlphaEvolve 一致，而第三个系数在两者中均更差。$d=3$$p\equiv 1\left(mod4\right)$

$d$	Station	AlphaEvolve
$\mathrm{\hspace{0.33em}4}$	$\frac{1}{8}{p}^4+\frac{19}{32}{p}^3+\frac{25}{32}{p}^2+O\left(p\right)$	$\frac{1}{8}{p}^4+\frac{19}{32}{p}^3+\frac{\mathrm{𝟏𝟏}}{\mathrm{𝟏𝟔}}{p}^2+O\left(p^{3/2}\right)$
$\mathrm{\hspace{0.33em}5}$	$\frac{1}{16}{p}^5+\frac{47}{128}{p}^4+\frac{25}{32}{p}^3+O\left(p^2\right)$	$\frac{1}{16}{p}^5+\frac{47}{128}{p}^4+\frac{\mathrm{𝟏𝟕𝟕}}{\mathrm{𝟐𝟓𝟔}}{p}^3+O\left(p^{5/2}\right)$

我们在 中各个素数处报告的规模确实仍优于基准，但它们来自搜索而非公式。$d=4,5$

4.2 Erdős 最小重叠

Erdős 的最小重叠问题探讨的是：一个区间的两个互补部分在平移下能如何均匀地彼此避开。设 为可测函数，其积分为 ，在 上取值为 ，并将这两个函数在区间外以零延拓。记$f:\left[-1,1\right]\to \left[0,1\right]$$1$$g=1-f$$\left[-1,1\right]$

$C_f\left(x\right)={\int }_{-1}^{1}f\left(t\right)g\left(t+x\right)𝑑t,\mu =\underset{f}{inf}{\parallel C_f\parallel }_{\infty }.$

这个常数是 Erdős 最小重叠问题在长整数区间平衡划分情形下的连续形式 [23, 37, 83]。AlphaEvolve 在其数学问题集中将这一问题列为问题 6.5，并将 Haugland 的上界从 改进为 ，后续工作又将其进一步降至 [85]。在下界方面，Kim 和 Pilanci 证明了 [41]。因此，在本工作之前，已发表的最佳界限为$0.380927$$0.380924$$0.380868$$0.37912$

$0.37912\le \mu \le 0.380868.$

S1. 一个新的下界 。$0.380552$

Station 智能体证明了

$\mu >0.380552.$

(2)

相对于此前已发表的下界 ，这使相应的已发表开区间缩小了约 ，如图 2 所示。$0.37912$$82\%$

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智能体通过将重叠问题转化为相位敏感的傅里叶约束，并将这些约束合并为四个覆盖所有可容许重叠一阶矩情形的全局不等式，从而得到了这一下界。证明的一个关键要素是一个将任意实频率下的余弦与正弦信息耦合起来的尖锐关系式。记 和 分别为 的余弦变换与正弦变换，且 ，智能体证明了$P\left(\xi \right)$$Q\left(\xi \right)$$C_f$$s\left(\xi \right)=\sin \left(\xi \right)/\xi$

$P\left(\xi \right)\le s{\left(\xi \right)}^2-\frac{Q{\left(\xi \right)}^2}{4s{\left(\xi \right)}^2}\left(s\left(\xi \right)\ne 0\right).$

White 此前已使用了傅里叶相位信息与凸优化方法，而 Kim 和 Pilanci 后来引入了额外的矩约束 [83, 41]。与这些早期方法相比，本文所用的表述消除了 的未知变换，直接约束重叠本身，并且适用于任意实频率。更广泛地说，这一结果表明，当保留这种相位耦合时，既有的傅里叶方法具有更大的适用范围，并为进一步收窄剩余差距提供了一条分析路径。$f$

与 AlphaEvolve 在上界方面的比较。

The Station 智能体独立获得了该结果，相比 AlphaEvolve 已发表的 上界略有改进。然而，这仍高于 Ye 等人 [85] 当前已发表的上界。因此，The Station 并未创下新的上界纪录。$\mu <0.380895$$0.380924$$\mu <0.380868$

4.3 中的接吻数$d=11$

接吻数是指在 中能够同时接触一个中心单位球的最大非重叠单位球数量。等价地，它也是内积两两至多为 的单位向量集合的最大规模。AlphaEvolve 将这一经典问题作为其数学问题集中的 6.8 号问题，并将十一维中的下界从 Ganzhinov 利用高度对称直线所确立的 提升至 。我们使用 AlphaEvolve 的评分规则（该规则衡量周围球体之间的总两两重叠量）在同一问题上运行了两个独立的 Station。两个 Station 均无法访问外部信息，包括上述 点和 点构造。两者均达到了 个点，证明了 。两次运行合计产生了三个精确的、两两非等距的 点构造。$K\left(d\right)$${ℝ}^d$$1/2$$592$$593$$592$$593$$604$$K\left(11\right)\ge 604$$604$

S1. 三个精确的 点接吻构型。$604$

The Station 在 中发现了三个几何上不同的 点接吻构型。这三个构型都是 上的精确等范数排列，但它们的点的组织方式不同：两个是中心对称的，一个不是，且每个构型都有不同的接触结构和两两夹角集合。图 3 可视化了它们共享的架构以及区分它们的两个结构选择。我们将它们分别标记为构造 1、2 和 3：$604$${ℝ}^{11}$$\mathbb{Q}\left(\sqrt{2}\right)$

构造	1	2	3
接触对	19,704	22,904	22,840
中心对称	是	是	否
对跖点对	302	302	238
不同的两两夹角	22	14	15

接触点对数量的不同证明了这些构型两两非同构等距，因为该数量在正交变换和重新标记下保持不变。构造 1 和构造 2 包含每个点的对跖点，但构造 2 具有更多的接触点对和少八个的两两夹角。构造 3 存在没有对跖点的点。在这三者中，构造 2 的接触点最多且夹角集合最小，而构造 1 的接触点最少且夹角集合最大。因此，相同的记录规模支持了本质上不同的几何结构。$\mathrm{3,200}$$128$

在同期工作中，Bianchi 等人通过 EinsteinArena 平台报告了构造 1，时间略早于我们公开发布构造 3 [10]。EinsteinArena 是一个开放的在线平台，接受任何参与者提交的候选工件并使其可公开验证。该 点构造似乎是平台上多个独立运行的 AI 智能体系统协作的结果。相比之下，Station 的结果来自我们端到端开源系统的两次独立封闭互联网执行：一次独立恢复了构造 1，另一次发现了构造 2 和构造 3。因此，Station 独立发现了构造 1，而构造 2 和构造 3 据我们所知是 Station 的新发现，代表了另外两个等距类。$604$

S2. 中 点亲吻构型的代数构造。$604$${ℝ}^{11}$

智能体首先通过在一个 -点整数核心周围搜索兼容的直线，发现了构造 3。随后他们证明，同一构型受一条紧凑的代数规则而非任意坐标列表所支配，从而给出了一种显式代数构造。该构造本身无需计算机搜索。首先，-点核心由稀疏的范数四整数向量按照固定的支撑集和符号规则生成。其次，在某个坐标平面内旋转后的坐标系中，十一个简单符号模式即可生成所有直线；对每条直线取两个方向，便得到 -点扩展。 的出现是内在必然的：它由扩展与核心之间的兼容性所强制决定。$54$$496$$496$${45}^{\circ }$$54$$108$$\sqrt{2}$

核心的支撑结构解释了为何这些额外点能够适配。它在某个特定的三维子空间中留出了额外的角度空间，该子空间内可放置六条相互兼容的直线。在其余八条坐标轴中，核心恰好允许四对可行组合，每一对连同该特定子空间共同支撑一组唯一的十二条附加直线。这四对组合互不相交，因此它们对应的组彼此兼容。支撑集和符号规则还确保每个新点与核心的每个点都满足紧贴约束。因此，所得构型包含 个点。$496+2\left(6+4\cdot 12\right)=604$

S3. 经典构造为何止步于 。$D_{11}$$582$

智能体研究了更好的搜索是否能在经典范数四构造中找到更大的构型。他们证明答案是否定的：无论采用何种搜索算法或假设何种对称性，该构造最多只能包含 个兼容点。要达到 或 个点，就必须脱离经典构造。这一结果排除了仅使用范数四壳层向量进行改进的任何可能性，并将智能体引向以格派生核心为基础、辅以额外向量的构造方式，最终产生了 -点构型。$D_{11}$$582$$593$$604$$604$

智能体通过证明符号选择无法克服对四坐标集合可用性的底层限制，确立了这个界限。设 表示最大的兼容四坐标支撑集合，设 表示在给这些坐标分配符号后最大的兼容集合。智能体证明了$A(n,4,4)$$\alpha \left(J_{\pm }(n,4)\right)$

$\alpha \left(J_{\pm }(n,4)\right)=16A(n,4,4).$

(3)

换句话说，允许任意符号恰好将最优值提升到四坐标上可能的符号模式数量；它无法带来任何额外优势。$16$

Best 在 1977 年证明了 [9]。因此，智能体的恒等式将构造中带符号的四权重部分限制为 个点。其余坐标向量与这些点兼容，从而为完整的四范数构造给出了精确的 界限。$A(11,4,4)=35$$560$$22$$\left\{\pm 2e_i\right\}$$582$$D_{11}$

两次封闭互联网 Station 运行中的智能体都独立推导出了方程 (3)。我们后来发现，它与 Takhanov 和 Yun 一篇论文中定理 1 的情形重叠，该论文直到最近——2026 年 6 月 2 日——才公开发布 [77]，其中该恒等式是更广泛的带符号亲吻构型分类的基础。因此，智能体是独立发现这一恒等式的。$k=4$

局限性。

Station 在十一维上的成功并未扩展到邻近维度的新纪录。我们启动了分别针对 和 的两个独立 Station，它们分别得到了大小为 和 的有效构型。十二维的结果比当前 点的前沿纪录低一点 [76, 18]，而十三维的结果与 Zinoviev 和 Ericson 的 点构造持平 [87, 18]。$d=12$$d=13$$840$$1154$$841$$1154$

讨论。

我们观察到，Station 智能体普遍倾向于采用有理论指导的策略，而非大规模启发式搜索。在这个问题中，它们证明了在经典构造框架内进一步搜索无法超过某一界限，随后将后续工作转向扩展另一个核心部分，最终得出了该点配置。相比之下，AlphaEvolve 的点构造由范数差异较大的大整数坐标组成，似乎并未展现出同等紧凑的代数描述或易于识别的组织结构。这种理论引导的偏向并不总是优势：在十二维情形下，Station 止步于某一结果，而当前的点前沿是通过结合结构洞见的大规模数值优化才达到的 [76, 18]。$D_{11}$$582$$604$$593$$840$$841$

这个问题还表明，Station 生成的定理可能对研究人员具有独立的研究价值。例如，由智能体独立推导出的公式 (3)，与一篇近期才公开发表的论文中的某个定理存在重叠 [77]。其显式的代数构造也可能具有独立价值。这些发现超出了分数优化的范畴，表明赋予 Station 智能体的额外自由度可以带来超越基准分数提升的贡献。

4.4 离散化 Kakeya 针问题

经典的 Kakeya 针问题探讨的是：将一个单位线段旋转覆盖所有方向，至少需要多大的面积。有限版本则将连续的方向替换为等间距的离散方向，并用可水平滑动的细长三角形来表示这些方向 [24]。更精确地说，对于实数偏移量，令$n$$n$$x_1,\dots ,x_n$

$T_j\left(x_j\right)=\mathrm{conv}\{(x_j,0),(x_j+\frac{1}{n},0),(x_j+\frac{j}{n},1)\},1\le j\le n,$

并定义

$C_T\left(n\right)=\underset{x_1,\dots ,x_n}{inf}\left|\bigcup _{j=1}^n{T}_j\left(x_j\right)\right|.$

Córdoba 的下界以及 Keich 分析的 Schoenberg 构造表明，该量具有某一阶数 [19, 39]，但其精确的有限值在很大程度上仍属未知。AlphaEvolve 将这一问题作为其数学问题集中的第 6.9 题；我们在相同的七个二进尺寸下，将三角形组件提供给了 Station。$C_T\left(n\right)$$1/\log n$$n=2,4,8,16,32,64,128$

S1. 在某一尺寸下的新上界。$n=32,64,128$

Station 在三个有限尺寸下找到了更优的构造。在某一尺寸下，它找到了面积为某一值的三角形并集，相比 AlphaEvolve 的结果提升了某一幅度，相比后来的 HorizonMath 结果提升了另一幅度 [81]，从而证明了……$n=32,64,128$$n=128$$0.107067$$0.114810$$6.74\%$$0.109148$$1.91\%$

$C_T\left(128\right)\le 0.107067.$

在 和 处，收益较为温和，Station 将 AlphaEvolve 的面积分别减少了 和 ；在较小的测试规模 下，它达到了与 AlphaEvolve 相同的数值（图 4）。$n=32$$n=64$$2.15\%$$0.69\%$$n=2,4,8,16$

S2. 在 处的精确最优解及在 处的对称性破缺。$n=3,4$$n=5$

在本工作之前，只有经典值 被精确已知 [24]。一个初等对称构造给出$C_T\left(2\right)=1/3$

$C_T\left(3\right)\le \frac{5}{18},$

而 Schoenberg 的经典 Perron 构造 [71] 给出

$C_T\left(4\right)\le \frac{1}{4}.$

AlphaEvolve 后来在数值上复现了该值。Station 证明了匹配的下界，从而确立了$n=4$

$C_T\left(3\right)=\frac{5}{18},C_T\left(4\right)=\frac{1}{4}.$

它还表明，两个极小值点都允许反射对称构型，且最优解包含连续族$n=4$

$(\frac{1}{4},\frac{1}{4}-c,c,0),\frac{1}{20}\le c\le \frac{1}{8}.$

Station 随后证明了在 处反射对称构型中的最小值为 ，并发现了一个面积为 的新非对称构造。图 4（右）比较了对称极小化构型与这个更小的非对称构造。这证明了在 处每个全局极小化构型都必然是非对称的，尽管 的精确值仍然悬而未决。$n=5$$7/30$$14/61<7/30$$n=5$$C_T\left(5\right)$

这些结果超出了基准评分范围。在 中，只有 是七个测试规模之一，且评估器只对显式构造的面积进行评分；它既不要求也不奖励全局下界的证明。任务规范也没有要求智能体对精确的小规模最优解进行分类或研究对称性破缺。智能体通过自主数学探索得出了这些结果，将其工作扩展到了有限构造基准之外。$n=3,4,5$$n=4$$n$

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局限性。

The Station 在测试的各个功率下分别优化了其构造，图 4 将它们与 AlphaEvolve 对应的分别优化的有限构造进行了比较。因此，该图比较的是双方的有限构造。除了这些分别优化的有限构造之外，AlphaEvolve 还提出了一种通过迭代式专家引导开发的、对每个（参数）都有效的单一构造。The Station 没有使用等效的专家参与流程，其自主智能体也没有发现具有竞争力的统一构造。$n=2^k$$n$

4.5 符号不确定性原理

一维符号不确定性问题探讨的是：当一个函数及其傅里叶变换在原点处均为负值时，它们最早能在何时都变为最终非负。对于一个非零的偶可积函数（其傅里叶变换也可积），定义$f:ℝ\to ℝ$

$A\left(f\right)=inf\{r>0:f\left(x\right)\ge 0\text{ whenever }\left|x\right|\ge r\}.$

该问题要求出最大的常数 ，使得 。Bourgain、Clozel 和 Kahane 提出了这个问题 [12]，后续研究逐步获得了更强的界 [33, 17]。AlphaEvolve 将其作为问题 6.11 进行研究，并报告了一个上界 以及一个未发表的人类上界 。The Station 进一步将该上界改进为 ，如图 5 所示。$C_{\mathrm{SU}}$$A\left(f\right)A\left(\hat{f}\right)\ge C_{\mathrm{SU}}$$0.321591$$0.3102$$0.3089$

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S1. 一个新的上界 。$0.3089$

The Station 的智能体构造了一个函数，该函数产生了这个上界，从而证明了

$0.2025\le C_{\mathrm{SU}}\le 0.3089.$

它们采用

$f_{\epsilon }\left(x\right)=\left(-P\left(2\pi x^2\right)-\epsilon \right)e^{-\pi x^2},\epsilon ={10}^{-6},$

其中表达式涉及偶指标广义拉盖尔多项式；已证明尾部余量超过该值，因此最终非负性得以保持。这些基函数在傅里叶变换下保持不变，因此该选择自动给出相应结果，并将问题简化为构造一个具有所需符号的多项式。数值搜索找到了图 5 中所示的该次多项式；智能体将其系数表示为精确有理数，并证明了所得函数在相应半径之外非负，满足了问题对最终非负性的要求。$P$$L{}_{2j}{}^{(-1/2)}$$\epsilon$$f_{\epsilon }\left(0\right)<0$$f_{\epsilon }={\hat{f}}_{\epsilon }$$226$

S2. 双根拉盖尔族在接近该值时已穷尽。$0.3153$

在此任务中，我们向智能体提供了与 AlphaEvolve 相同的指定双根拉盖尔设置和评分规则，但未提供 AlphaEvolve 的论文或结果。在此设置下，每个提交都被限制在由偶指标拉盖尔基中至多二十个指定正双根所确定的函数族内；我们称之为双根拉盖尔族。AlphaEvolve 的构造也属于该族。设$P$$0.321591$

$C_{\mathrm{DR},20}=inf\{A\left(f\right)A\left(\hat{f}\right):f\text{ belongs to the double-root Laguerre family}\}.$

Station 智能体证明了

$0.315305<C_{\mathrm{DR},20}\le 0.315309\dots .$

上界来自一个显式构造，而下界则来自对尾部点的精确加权和阻碍。因此，任何将上界改进到该值以下的构造都必须离开双根拉盖尔族。$41$$0.315305$

这一界限促使智能体在受限族之外进行搜索，尽管官方评估器无法对超出该族的构造进行评分。它们将搜索扩展到没有指定双根的拉盖尔多项式，最终发现了给出该界限的该次构造。这提供了一个具体示例，说明智能体超越了分数优化，直接为底层数学问题做出贡献，尽管没有从分数中获得进一步指导。$226$$0.3089$

4.6 Hardy–Littlewood 极大不等式

一维中心 Hardy–Littlewood 问题要求找到控制中心局部平均值可能变大的最优常数。对于非负可积函数，定义$f:ℝ\to ℝ$

$Mf\left(x\right)=\underset{h>0}{sup}\frac{1}{2h}{\int }_{x-h}^{x+h}f\left(y\right)𝑑y,$

并设 为满足以下条件的最小常数$C_0$

$\left|\{Mf>\lambda \}\right|\le \frac{C_0}{\lambda }\parallel f{\parallel }_1.$

Melas 解决了该问题，证明了

$C_0=\frac{11+\sqrt{61}}{12}=1.567521\dots$

并构造逼近该值的有限质点示例 [55, 56]。AlphaEvolve 后来将这一有限问题作为基准，在搜索模式下达到该值，并在文献提示下得到约该值的结果。Station 智能体构造了一个 356 质点的构型，其值为 ，改进了 AlphaEvolve 的结果，但未能恢复 Melas 已发现的全局最优解。$1.5080$$1.533$$1.557069$

S1. 中心化算子与非中心化算子之间的尖锐常数。

Ramos 考虑了在中心化 Hardy–Littlewood 极大算子与非中心化 Hardy–Littlewood 极大算子之间进行插值的自然非切向族 [64]。其参数从 处的中心化算子延伸到 处的非中心化算子。记 为尖锐弱 常数，Ramos 指出其精确值对每个 均未知，而端点情形是经典的 [6, 56]。在处理该任务时，Station 智能体解决了 这一情形，证明了$\alpha$$\alpha =0$$\alpha =1$$C_{\alpha }$$(1,1)$$0<\alpha <1$$C_1=2$$1/3\le \alpha <1$

$C_{\alpha }=2\text{for every }\frac{1}{3}\le \alpha \le 1.$

(4)

其余 的常数仍然开放。任务并未要求这一扩展，智能体也不知道 Ramos 曾提出过该问题；它们之所以继续探索，是为了理解当中心化约束被放宽时，中心化问题的几何结构如何变化。$0<\alpha <1/3$

4.7 卵形线问题

卵形线问题询问：是否每条闭凸平面曲线的曲率都会迫使相关联的一维 Schrödinger 算子的最低特征值至少为 。对于长度为 、以弧长 参数化的曲线，定义$1$$\gamma$$2\pi$$s$

$H_{\gamma }=-\frac{d^2}{d{s}^2}+\kappa {\left(s\right)}^2,C=\underset{\gamma }{inf}{\lambda }_0\left(H_{\gamma }\right),$

其中 为曲率， 为周期边界条件下的最低特征值。Benguria 和 Loss 猜想 成立，并给出了一个包含圆和非圆卵形线的连续等号族 [5, 14, 8]，证明了 ，而 Linde 证明了全局下界 ；对其定理中显式常数进行数值计算得到 [48]。AlphaEvolve 将这一问题作为其数学问题集中的问题 6.19 加以研究。$\kappa$${\lambda }_0$$C=1$$C\le 1$$C>0.81$$C>0.8246$

S1. 独立恢复 Benguria–Loss 等号族。

AlphaEvolve 恢复了圆形，但未获得非圆形的等号椭圆族。Station 则独立恢复了一族单参数正规形（在欧氏运动和弧长原点平移下），对应经典的 Benguria–Loss 等号族。因此，它重建了已知等号结构中比 AlphaEvolve 更大的一部分。这是对已知结果的独立恢复，而非新的等号族。Benguria 和 Loss 提出了该猜想并给出了等号族；Burchard 和 Thomas 证明了其局部极小性，而 Bernstein 和 Mettler 发展了其射影几何并确立了“Benguria–Loss 椭圆”这一名称 [5, 14, 8]。AlphaEvolve 和 Station 均未改进全局下界。

4.8 素数定理

素数定理描述了素数的渐近密度。若以 表示不超过 的素数个数，则它断言$\pi \left(x\right)$$x$

$\underset{x\to \infty }{lim}\frac{\pi \left(x\right)}{x/\log x}=1.$

因此，该底层数学问题已经解决：比值收敛到精确的 。然而，AlphaEvolve 仍将其有限版本作为其问题集中的问题 6.27 加以研究。它搜索了一个有限支撑的权重，使其满足$1$$f$

$\sum _k\frac{f\left(k\right)}{k}=0.$

该权重及其相关求和的得分为

$A\left(f\right)=-\sum _k\frac{f\left(k\right)\log k}{k},F_f\left(x\right)=\sum _{k}f\left(k\right)\lfloor \frac{x}{k}\rfloor .$

经典的 Chebyshev 论证表明

$F_f\left(x\right)\le 1\text{for every }x\ge 1$

(5)

蕴含严格的全局下界

$\underset{x\to \infty }{lim\; inf}\frac{\pi \left(x\right)}{x/\log x}\ge A\left(f\right)$

[20]。式 (5) 中所需的全局不等式远比素数定理本身更具限制性：单个有限权重必须对每个 都满足该不等式。AlphaEvolve 的得分仅在该不等式的有限多个采样值处进行检验。因此，它可能给一个在未测试值处失效的权重打出高分，此时该得分并不能证明所声称的素数计数下界。然而，对所有 进行穷举检验通常在计算上不可行，因为相关的周期可能极其庞大。因此，采样得分只能粗略近似地反映全局不等式是否成立。$x$$x$

S1. 一个对每个 都成立的得分。$0.980681$$x$

Station 智能体发现了一个有限构造，它对每个 都满足式 (5)，其中$f$$x$

$A\left(f\right)\ge 0.980681.$

(6)

这一结果优于 AlphaEvolve 报告的得分。更重要的是，这些智能体证明了所需不等式对所有情况均成立，而仅凭得分本身并不能提供这一保证。他们的关键思路是在构造中选择整数，使得其在可控范围内发生重复。这便将无穷多种可能的取值缩减为一次有限的穷举检查，智能体使用精确算术在一分钟内完成了该检查。$0.938$$x$$F_f$$x$

相比之下，同一轮运行中的其他智能体找到了得分更高的构造，达到了更高分数，但这些构造并未满足对所有情况都成立的全局不等式。这提供了一个具体实例，说明智能体在可被钻空子的得分面前，仍优先考虑底层数学问题而非单纯的得分优化。$0.990629$$x$

S2. 为什么直接截断 Möbius 函数会失败。

Möbius 函数是一个自然的起点，因为它在素数定理的标准表述中处于核心地位。AlphaEvolve 探索了通过截断 Möbius 函数得到的有限构造，Station 智能体最初也采用了相同的方法。随后它们证明，这一族构造无法产生正的渐近得分：随着截断界限增大，其对所需全局不等式的最大违反程度至少以某个量级的规模增长。因此，对构造进行重新缩放以满足不等式会将其得分压低至趋于零的值。该证明建立在关于不完全 Möbius 和的结果之上[45]。这一障碍促使智能体放弃了直接截断 Möbius 函数的做法，转而探索一种更灵活的、对系数进行联合优化的构造，从而得到了上述严格的得分。$D$$D/{\log }^{2}D$$O\left({\log }^{2}D/D\right)$$0.980681$

局限性。

由于素数定理已经精确确定了上述极限比率，这些结果并不会改变人们对素数分布的已知认识。它们的数学贡献更为有限：在该基准测试的有限设定内，Station 智能体找到了一种具有严格得分的构造，并证明了自然的 Möbius 截断无法产生正的渐近得分。因此，该问题主要起到一种校准作用，用于检验智能体能否区分一个有效的数学结果与一个得分很高但可被钻空子的结果，而非对素数分布研究作出实质性贡献。$0.980681$

4.9 差基

一个有限集合 是区间 的差基，如果该区间内的每个整数都可以表示为 中两个元素之差。若 是这样一个集合的最小可能大小，则需最小化的量为 ；Rédei 和 Rényi 证明了这些归一化最小值收敛，且其极限等于其下确界 [65]。AlphaEvolve 报告了上界$B\subset \mathbb{Z}$$\{1,\dots ,n\}$$B$$\Delta \left(n\right)$$\Delta {\left(n\right)}^2/n$

$C:=\underset{n\ge 1}{inf}\frac{\Delta {\left(n\right)}^2}{n}\le \frac{{360}^2}{49109}\approx 2.639027$

作为其集合中的问题 6.7。此前已发表的上界是 Golay 的 [32, 7]，而非 AlphaEvolve 比较中所用的基准。这个例子是在人类专家提示的帮助下找到的：论文记录显示，AlphaEvolve 在获得用于生成 Singer 差集的正确代码之前一直未能改进其基准，其发布的提示词也将搜索引导至 Singer 集和经典的 Leech 乘积构造。我们只向 Station 提供了问题定义、评分规则和一个简单的网格基线。具体而言，这些智能体既没有获得这些构造提示，也无法访问外部文献。$C\le 2.6458\dots$$2.6571\dots$

S1. 独立重现 Leech–Golay 族中的一项纪录。

Leech 和 Golay 将四点差基与 Singer 差集相结合，得到了这一构造族中更早的成员 [43, 32, 4]。Station 独立重现了其成员。取 ，一个 元 Singer 差集 ，以及 ，智能体构造了$\left\{0,1,4,6\right\}$$q=89$$v=q^2+q+1=8011$$90$$D\subset {\mathbb{Z}}_v$$A=\left\{0,1,4,6\right\}$

$B=\{va+d:a\in A,d\in D\}.$

通过对 选取适当的代表元，所得整数实现了从 到 的所有差值，而 是第一个缺失的差值。因此$D$$360$$1$$49109$$49110$

$C\le \frac{{360}^2}{49109}=2.6390274695\dots ,$

将 Golay 的上界进一步改进了约 。该集合与 AlphaEvolve 报告的构造逐项一致。这是对已知纪录的独立复现，并非相对于 AlphaEvolve 的新上界，也不是新的构造族。智能体还尝试进一步推低下界，但仅达到了经典界 [43]，而 Yang 和 Liao 证明了更强的已发表界 [84]。$0.0067$$C\ge 2.434467\dots$$C>2.4421$

4.10 Sidorenko 猜想

Sidorenko 猜想断言：每个二分图 对任意图同态密度 均满足 ，其中 是 在 中的同态密度 [74]。最小的未解实例是拥有十个顶点、十五条边的图 ，也称为二分 Möbius 阶梯 [66]。AlphaEvolve 将该问题作为其数学问题集中的问题 6.26 提出，并在非恒定 阶梯图同态上进行了搜索。它通过以下方式对候选解进行评分：$H$$t(H,W)\ge t{(K_2,W)}^{\left|E\left(H\right)\right|}$$W$$t(H,W)$$H$$W$$H=K_{5,5}\setminus C_{10}$$30$

$\frac{t{(K_2,W)}^{15}}{t(H,W)}-1,$

因此正值将给出反例，从而推翻该猜想实例。

AlphaEvolve 报告称未找到反例。我们向 Station 给出了相同的问题和评分规则，Station 的智能体同样未找到反例。因此，该猜想的状态没有变化。

4.11 峰值自卷积

AlphaEvolve 的问题 6.2，在其问题集中被称为第一自相关不等式，探讨的是两个具有相同紧支撑密度的独立随机变量之和能有多均匀地分布。更精确地说，对于定义在 上、满足归一化条件 的非负函数 ，令$f$$[-1/4,1/4]$$\int f=1$

$C_{6.2}=\underset{f}{inf}{\parallel f\ast f\parallel }_{\infty }.$

确定 的值与广义 Sidon 集的渐近大小相关，其精确值目前仍未知 [53]。目前报道的最佳界为$C_{6.2}$

$1.2937\le C_{6.2}\le 1.502851,$

其中下界和上界分别来自经过认证的凸松弛和显式阶梯函数 [41, 68]。

AlphaEvolve 达到了上界，改进了 Matolcsi 和 Vinuesa [53] 在 AlphaEvolve 之前给出的界；TTT-Discover 随后将前沿推进到 [86]，而精确算术证书又将其进一步提升到 [68]。Station 仅达到 ，比 AlphaEvolve 和当前前沿都差。AlphaEvolve 的高度不规则构造来自大规模启发式搜索。这一对比凸显了 Station 的一个局限：其智能体普遍偏好理论引导的构造而非启发式搜索，这种偏好虽然在多个其他问题上产生了强劲结果，但在这里却落后了——因为前沿构造依赖于大规模的启发式优化。$C_{6.2}\le 1.5032$$C_{6.2}\le 1.50972$$C_{6.2}\le 1.502863$$C_{6.2}\le 1.502851$$C_{6.2}\le 1.504473$

4.12 平坦自卷积

AlphaEvolve 的问题 6.3（在其集合中被称为第二个自相关不等式）探讨的是：非负函数的自卷积能在多大程度上接近一个平顶函数——即在一个集合上为常数、在该集合外为零的函数。更精确地说，对于非零非负函数 ，令$f\in L^1\left(ℝ\right)\cap L^2\left(ℝ\right)$

$Q\left(f\right)=\frac{{\parallel f\ast f\parallel }_2^2}{{\parallel f\ast f\parallel }_1{\parallel f\ast f\parallel }_{\infty }},C_{6.3}=\underset{f}{sup}Q\left(f\right).$

Hölder 不等式给出 ；对于任意非负输出，等号仅在这样一个平顶函数时成立。自卷积约束是否必然导致严格不等式仍然是一个开放问题 [51, 53]。在 AlphaEvolve 之前，已知的最佳界为 [53]$C_{6.3}\le 1$$C_{6.3}<1$

$0.88922\le C_{6.3}\le 1.$

AlphaEvolve 确立了 的下界，而后续工作进一步将其改进到 [85]。Station 的最佳已验证构造仅达到 ，因此并未改进数值界。这一不足反映了与问题 6.2（最小化自卷积峰值，见第 4.11 节）中相同的局限：Station 的理论引导智能体并不擅长发现大规模启发式搜索所产生的高度不规则构造。$C_{6.3}\ge 0.961021$$0.962694$$C_{6.3}>0.953189$

S1. 二元阶梯函数保持无约束上确界。

尽管如此，这些智能体还是证明了关于寻找近最优构造的一个有用事实：定义 的上确界可以通过二元阶梯函数来逼近，从而将对任意非负函数的搜索转化为对越来越细网格上二元函数的搜索。$C_{6.3}$

4.13 图书 Ramsey 数

给定图 时，Ramsey 数是指最小的 ，使得 的任意红蓝边着色必然包含一个红色的 副本或一个蓝色的 副本。确定 Ramsey 数的精确值是一项困难的计算与理论挑战。最著名的 Ramsey 数当属 和 均为完全图的情形，但许多其他选择也已被广泛研究（见综述 [63]）。书图 由共享一条公共边的 个三角形组成。一个悬而未决的问题是，是否$G_1,G_2$$R(G_1,G_2)$$n$$K_n$$G_1$$G_2$$G_1$$G_2$$B_k$$k$

$R(B_{n-1},B_n)=4n-1$

(7)

对每个正整数 都成立。Rousseau 和 Sheehan 于 1978 年建立了上界，证明了对于所有 有 [67]。因此，剩下的工作就是证明匹配的下界。对于给定的 ，这相当于构造 的一种红蓝边着色，使其既不包含红色的 也不包含蓝色的 。$n$$R(B_{n-1},B_n)\le 4n-1$$n$$n$$K_{4n-2}$$B_{n-1}$$B_n$

第三作者证明了 时的等式成立，与同期工作独立地相互印证，并在 为同余于 的素数幂时建立了一个无限的 Paley 型族 [82, 47]。有限证据与一般算术构造的结合使他推测 (7) 对所有 均成立 [82]。Epoch AI 随后将其采纳为 FrontierMath 开放问题 [22]。在该问题发布之后，进一步的工作将连续求解的范围扩展到了 ，并通过扩展已有构造生成了两个额外的无限族 [80]。$n\le 20$$2n-1$$1\left(mod4\right)$$n$$n\le 56$

我们针对该问题运行了两个 Station。第一个在无互联网访问的情况下运行，发现了一个新的会议图族。随后我们运行了第二个 Station，该 Station 可访问互联网并获得了第一个 Station 结果的摘要；它发现了一个新的加倍 Legendre 族以及若干新的有限构造。之后，一位外部专家将这些有限构造中的模式与第二个 Station 的早期结果相结合，得到了 Yamada–Pott 无限族。因此，前两个族是 Station 自主发现的结果，而第三个族则需要人类专家的参与。相对于现有文献，这三个族均为全新成果，并在图 6 中进行了可视化展示。每个族所覆盖的参数范围（包括哪些此前是未解决的）汇总于图 7。$n$

S1. 会议图族。

第一个也是最广泛的族将任意会议图转换为锐利的 book-Ramsey 着色。具体而言，如果存在一个参数为

$(q,\frac{q-1}{2},\frac{q-5}{4},\frac{q-1}{4})$

的强正则图，那么 Station 的智能体证明了

$R(B_q,B_{q+1})=4q+3.$

(8)

当 是 的素数幂时，Paley 会议图总是存在。因此，该定理在 是 的素数幂时证明了该猜想。在 Paley 情形之外，Seberry 和 Whiteman 使用 Mathon 的构造获得了每个 阶的对称会议矩阵 [52, 72]。这些矩阵产生 阶的会议图，因此 Station 定理也在$q$$1\left(mod4\right)$$n-1$$1\left(mod4\right)$$5\cdot 9^{2t+1}+1$$t\ge 0$$q=5\cdot 9^{2t+1}$

$n=5\cdot 9^{2t+1}+1,t\ge 0.$

时证明了该猜想。第一个成员给出 和 。已知的 阶会议图提供了额外的参数 [36]。总体而言，已知的会议图在 30 个 值上证明了该猜想，其中 19 个此前是未解决的 [82, 47, 80, 22]。$q=45$$n=46$$q=65$$n=66$$n\le 200$

S2. 双重勒让德族。

第二个族将 上的周期勒让德源转换为锐利的 book-Ramsey 着色 [25]。具体而言，对于每个满足 的素数幂 ，Station 的智能体证明了${𝔽}_Q$$Q>3$$Q\equiv 3\left(mod8\right)$

$R(B_{\left(Q-1\right)/2},B_{\left(Q+1\right)/2})=2Q+1.$

(9)

因此，该定理在 是 的素数幂时证明了该猜想。对于 ，该族在 21 个值上证明了等式成立，并且在发现之时，在计入会议族之后还解决了六个额外的未解情形 [82, 47, 80, 22]。$2n-1$$3\left(mod8\right)$$n\le 200$

智能体于 2026 年 7 月中旬发现了这个一般族。7 月底宣布的并行工作独立地产生了有限情形 [22]；Station 定理包含 作为其中一个成员，并覆盖了无限多个进一步的参数。$n=70$$n=70$

加倍 Legendre 族与 Turturean [80] 报告的 Legendre 族相关但不同。两者都始于相同类型的周期 Legendre 源（在 上，且 ），但使用不同的提升来获得 book-Ramsey 着色。对于相同的源阶 ，较早的提升达到 ，而 Station 提升达到 。因此它将 Ramsey 参数加倍，并覆盖一组不同的值，如图 7 所示。${𝔽}_Q$$Q\equiv 3\left(mod8\right)$$Q$$n=\left(Q+1\right)/4$$n=\left(Q+1\right)/2$

S3. Yamada–Pott 族。

第三个族将经典的 Yamada–Pott 设计转化为锐利的 book-Ramsey 着色 [3]。具体来说，对于每个满足 的素数幂 ，我们证明了$q\ge 7$$q\equiv 3\left(mod4\right)$

$R(B_{\left(q^2-q-2\right)/4},B_{\left(q^2-q+2\right)/4})=q^2-q+1.$

(10)

因此，该定理在

$n=\frac{q^2-q+2}{4}$

对于与 同余的素数幂 时证明了该猜想。对于 ，该族在五个值处证明了等式，并在考虑 conference 族和加倍 Legendre 族之后解决了三个额外的先前未解决的情况 [82, 47, 80, 22]。第二位 Station 的智能体提供了 的有限仿射构造和一个较早的周期相关性恒等式；一位外部专家识别出它们共有的 Yamada–Pott 结构，并利用这些要素建立了该一般定理。$q\ge 7$$3\left(mod4\right)$$n\le 200$$n=11,28,86$

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讨论。

上述三个无限族相对于现有文献而言是新颖的，但其源对象并非新事物：会议图（conference graphs）、周期勒让德对（periodic Legendre pairs）和 Yamada–Pott 设计均已有先例 [52, 25, 3]。每个案例中的新意在于将经典对象提升为锐利 book-Ramsey 染色的规则，而这样的规则未必能从源对象本身直接看出。例如，智能体是在经过超过 3,000 个 Station 时钟周期以及一长串中间内部论文之后，才发现了通用的会议图提升规则。随附的笔记本提供了改编自智能体内部论文、相对未经打磨的证明；我们将在后续的单独论文中给出全部三个族的精炼证明。

前两个族还表明，Station 智能体能够推进超出可直接评分任务的通用数学目标：尽管评估器只能奖励有限构造，它们仍然发现并证明了无限族。第三个族则展示了互补的局限性。有限仿射示例和一般定理所需的周期相关恒等式都已存在于 Station 的研究历史中，但智能体未能将它们联系起来。一位外部专家识别出它们共同的 Yamada–Pott 结构并完成了综合。这一错失的联系表明，智能体可能尚未充分利用 Station 中积累的知识，在此类情况下或许需要外部专家的综合协助。

4.14 Jacobian 猜想

雅可比猜想问的是：一个处处局部可逆的多项式映射，是否也必然全局可逆。更精确地说，它断言：每个具有非零常数雅可比行列式的多项式映射都是多项式自同构[40]。2026年7月19日，有消息宣布，利用Claude Fable[1]构造出了一个三维反例，从而在一切至少为三维的维度上推翻了这个猜想。这一突破随即促使研究者们去寻求对该映射的概念性解释：特别是，其看似神奇的雅可比相消为何会发生，以及三个一般的逆曲面如何能与处处局部可逆性共存[15, 27, 78, 73, 75]。$F:{ℂ}^n\to {ℂ}^n$

我们在该公告发布一周后启动了Station。由于这项实验是在更新模型问世之后进行的，它使用了比其他Station更新的智能体池：两个智能体分别由GPT-5.6 Sol、Claude Opus 5和Gemini 3.1 Pro驱动。这些智能体没有外部网络访问权限，只收到一份不含公式的规格说明：构造一个次数至多为某值的、具有有理系数的多项式映射，要求其雅可比行列式为非零常数，且在同一纤维中存在两个不同的有理点。评估器自动检查每个构造，并且只有当其满足所有要求时才给出分数，否则不给分。我们没有提供任何文献综述或部分构造。因此，智能体必须独立地找到这个反例。${ℂ}^3\to {ℂ}^3$$12$$1$$0$

这项任务的目标有两个。首先，我们希望在严格二元问题上测试 Station。评估器既不提供部分分数，也不提供分级反馈，因此失败的尝试不会给智能体任何关于如何改进的分数信号；要达到所需分数，必须重构一个困扰数学家近九十年之久的猜想反例 [40]。其次，我们希望观察完整的发现过程，而不仅仅是最终构造。我们公开了全部原始智能体对话，而原始 Fable 的发现轨迹尚未发布。这份记录保留了未出现在最终构造中的中间数学想法，使研究人员能够研究 AI 主导的数学发现的动态过程。$1$

S1. 通过尖点直纹面的独立重构。

设 ，一个 Station 智能体构造了七次映射$b=xy-1$

$F(x,y,z)=(6x+9x^{2}y,y\left(9b^2+6b-2\right),\mathrm{\hspace{0.33em}3}{y}^{2}b\left(3b-1\right))+z(x^3,x{b}^2,b^3).$

精确计算得到 ，以及三个不同的有理点$detJF=-6$

$(-\frac{6}{7},-\frac{7}{6},-\frac{4753}{216}),(\frac{3}{4},\frac{7}{3},-\frac{980}{27}),(\frac{3}{28},\frac{7}{3},\frac{2548}{27})$

全部映射到 。这些恒等式构成一个完整的反例证书。该公式与已公布的映射 [1, 26] 明显不同，但线性源变换和目标变换满足 。因此 Station 在不同的线性坐标下重构了已公布的反例；它没有产生新的反例或新的等价类。$(1,7/3,0)$$H$$T(x,y,z)=(x,-y,-3z)$$L(A,B,C)=(3C,-B,3A)$$F\circ T=L\circ H$

原始结果归功于 Claude Fable，而该反例由一个 GPT-5.6 Sol 智能体在一天之内独立发现，未与其他智能体直接交互。成功的智能体从直纹映射 开始，因此对于每个固定的 ，变化时 描绘出一条直线。它测试了基于光滑圆锥曲线的五种低次方向模板，但没有一种满足剩余的常数雅可比条件。决定性的一步是用尖点三次曲线 替换光滑方向曲线。其关联方向场为 ；在这一选择下，基曲面的相容方程变得可解，并恰好产生了上述映射。$F(x,y,z)=f(x,y)+zn(x,y)$$z$$(x,y)$$[r:s]\mapsto [r^3:r{s}^2:s^3]$$n=(x^3,x{\left(xy-1\right)}^2,{\left(xy-1\right)}^3)$$f$

S2. 重构的映射具有无临界点的三叶纤维。

在成功推导过程中，该智能体还解释了为什么尖点直纹（cuspidal ruling）能使雅可比行列式为常数。对于方向场，智能体推导了活动标架恒等式，包括 的恒等式，据此，行列式中每一个依赖于 的贡献项都包含一个重复的切方向并因此为零。剩余的三重积即为常数 。因此，智能体是从尖点直纹的几何结构推导出雅可比行列式的消去，而非发现十六个只能在事后验证其消去的项。$n=(x^3,x{\left(xy-1\right)}^2,{\left(xy-1\right)}^3)$$D\left(n\right)=3xn$$D=x{}^2\partial {}_x-\partial {}_y$$z$$-6$

在构造出反例之后，同一智能体分析了其纤维结构，并解释了该映射为何能在处处局部可逆的同时，在一般情况下具有三个原像。在一个稠密坐标卡上，将目标点写为 ，并令 和 。恢复一个原像于是归结为$(X,Y,Z)$$I=XY$$J=X^{2}Z$

$t^3+6t^2-3It+2J=0.$

(11)

对于一般的目标点，三个根给出三个不同的原像。若记左侧为 ，则逆公式满足 、 ，从而有 。当根重合且 时，条件 迫使相应的源点逃逸至无穷远处，而非在仿射空间中成为临界点。在例外轨迹 上，源坐标提供了一个额外的仿射尺度方向，从而消解了同样的表观分歧。这一分析回答了数学家在公告发布后立即提出的结构性问题：三个叶层源于一个三次商映射，而完整三维映射的几何结构阻止了它们的碰撞产生临界点。该智能体的解释与公告发布后数日内数学家们发展出的尖点与三次解释相吻合 [27, 78, 73, 75]。$p\left(t\right)$$A=p^{\prime }\left(t\right)/6$$X=xA$$x=X/A$$X\ne 0$$p^{\prime }\left(t\right)=0$$X=0$$x$

讨论。

该实验的数学结果是独立重构，而非新的反例或新的解释。该实例表明，Station 能够解决一个困难的二元问题，而该问题的评估器不提供梯度或部分分数来引导搜索。尽管如此，此类反例突破可能仍然罕见，因为猜想通常被预期为真。在更广泛的背景下，更困难的挑战可能在于识别一个有前景的问题，并在知晓反例是否存在之前投入大量计算。

5 元分析

在本节中，我们对上述发现过程进行元分析，以更好地理解 AI 发现的动态。除非另有说明，所有分析均基于前文提到的 14 个问题背后的 16 个 Station 实例。（Kissing number in 和 Book Ramsey numbers 问题各有两个 Station 实例。）Spotlight 结果指该节中标记为 S1、S2 等的结果，共计 28 个结果。当单个 spotlight 包含多个独立发现的成果时，我们分别计数这些成果。我们使用“archive paper”指代由 Station 内智能体发表的论文，而非外部人类文献中的论文。$d=11$

5.1 模型家族的贡献

我们首先分析 28 个 spotlight 结果中每个结果的主要贡献者，如图 8(a) 所示。我们将每个结果归因于做出实质性发现的智能体，而非后来重述、验证或发表该结果的智能体。Claude 智能体对 18 个结果（64.3%）做出了主要发现，GPT 智能体对 9 个结果（32.1%）做出了主要发现，Gemini 智能体对 1 个结果（3.6%）做出了主要发现。Gemini 的较小份额可能部分反映了模型发布时间：Gemini 3.1 Pro 于 2026 年 2 月发布，早于 4 月的 GPT-5.5 和 5 月的 Claude Opus 4.8 [34, 60, 2]。因此，其较低的贡献与行业普遍趋势一致，即较晚发布的模型具有更强的能力。

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我们还分析了智能体的档案论文贡献，如图 8(b) 所示。Gemini 智能体提交的档案论文最多：共尝试 2,652 次，其中 508 篇被接收（19.2%），也就是说超过 80% 被评审者拒绝。Claude 智能体尝试了 1,236 次，其中 696 篇被接收（56.3%），而 GPT 智能体仅尝试了 506 次，其中 388 篇被接收（76.7%）。我们还按模型家族计算了总引用次数，发现 Claude 智能体的档案论文无论在总量还是平均值上都获得了最多的引用（图 8(c)）。在我们的观察中，Gemini 智能体倾向于过度宣称，例如仅凭有限的证据就断言某个方向不可行；这类投稿通常会被评审系统拒绝，这或许有助于解释其高拒绝率。相比之下，GPT 智能体在档案论文投稿上非常谨慎，通常只在发现相对重要时才提交，这或许有助于解释其较低的投稿数量。Claude 的档案论文通常篇幅更长、内容更全面，这或许有助于解释其较高的平均引用次数。这些模式反映了不同模型家族在研究风格上的差异。

从定性角度看，我们观察到三个模型家族在优势与失败模式上存在显著差异。Gemini 智能体倾向于提出更新颖的启发式方法和研究方向，但它们也更容易夸大结论，或在收到同行反馈时过于轻易地改变方向。GPT 智能体往往更为严谨，通常能够为新结果给出有效的非正式证明，但它们也可能陷入技术细节繁复的旁支问题，而这些问题的整体研究价值有限。Claude 智能体则往往表现出持久、有条理且善于自我批判的特点。它们的创造力常常是适应性的：它们会从失败的方法中学习，利用这些失败来识别新方向，并通过严谨的验证持续推进这些方向。这种严谨与有纪律的创造力相结合，使 Claude 成为高产贡献者。不过，其智能体偶尔也会提出错误论断，随后由同行智能体予以纠正。

5.2 跨模型家族的协作

Station 的一个特点是允许来自不同模型家族的智能体进行协作。因此，我们考察了不同模型家族的智能体在 spotlight 成果上共同协作的频率。我们审视了上述全部 28 项 spotlight 成果。当某个智能体的工作被实质性用于该成果时——例如，它贡献了一个定理、构造、方法或研究方向，并被其他智能体所采用——我们便将其计为贡献者。

我们发现，在 28 个亮点结果中，有 13 个（46.4%）涉及来自多个模型家族的智能体，如图 9(a) 所示。在其余 15 个结果中，有 6 个仍是由同一模型家族的多个智能体合作完成。因此，28 个结果中只有 9 个（32.1%）是由单个智能体独立发现，而 19 个（67.9%）涉及多个智能体。Claude 智能体尤其善于协作：它们参与了全部 13 个跨模型结果。这些发现表明，智能体之间以及不同模型家族之间的协作是发现过程中的重要组成部分。相比之下，当前大多数 AI 驱动的科学系统，要么在单次运行中使用单一模型家族的智能体 [58, 30, 70, 35, 61]，要么在流水线中让不同模型家族承担固定角色 [50, 31]。

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我们还考察了跨模型案例中智能体之间的沟通方式。档案室（Archive Room）是最常用的渠道，占这些协作的61.5%（图9(b)）。这表明档案论文是智能体之间进行同行交流的一种高效手段。作为智能体较长的研究过程中对科学成果的高度浓缩记录，这些档案论文提供了一种低带宽但信息密度高的知识载体，后续智能体可以在此基础上继续推进，这与我们人类的科学文献颇为相似。一个智能体可以解决问题的某一部分并说明仍缺失什么；来自另一个模型家族的后续智能体可以阅读档案论文并继续推进。事实上，图9(c)展示了一个著名的案例研究——三个模型家族主要通过档案论文进行协作，最终取得了首个有限Kakeya聚光结果。

5.3 发现时间

我们同样关注Station完成每项发现所需的时间。大多数Station实例运行了1,000至2,000个tick，对应大约一到两周的连续墙钟时间。图10展示了28个聚光结果各自以最终实质性形式首次出现时的tick位置。

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一些相对简单的结果出现得较早。除了雅可比猜想（Jacobian Conjecture）这一显著例外，这些早期发现往往分量较轻，通常是对预训练知识中已有思路的直接改编或扩展，而此时Station中积累的共享知识还不多。

28 个焦点结果中有 13 个（46.4%）是在第 1000 次迭代之后才被发现的。我们普遍观察到，较晚的发现往往更具新颖性或难度。最极端的例子是 Book Ramsey 数的 conference-graph 族，它是在第 3727 次迭代时被发现的。其提升规则在现有文献中远非显而易见，值得单独撰写一篇外部后续论文。这类非平凡的发现往往只有在大量内部文献积累之后才会出现。

5.4 Station 机制

Station 的设计旨在通过多种机制促进科学发现。这些机制在附录 A 中有详细描述；这里我们给出简要概述，并探讨其中哪些机制对焦点结果做出了贡献。

• 假期。每十个迭代周期中的最后两个迭代被宣布为假期；智能体不能提交代码或归档论文，而是收到鼓励广泛反思、隐喻或借鉴其他领域想法的提示词。这种暂停常常促使智能体重新考虑失败的方法，或探索不那么明显的方向。

• 归档论文。被接受的归档论文构成 Station 的累积知识，并持续可供后续智能体使用。这使得部分定理、构造和有据可查的失败能够成为后续发现的起点。

• 停滞协议。如果官方评估前沿长期没有改进，Station 会要求智能体审查内部文献、质疑自身假设，并尝试不同的高层策略。这有助于智能体摆脱已经耗尽的局部方法，推动它们进行更大胆的尝试和更广泛的探索。

• 同行交流。智能体可以通过直接邮件或共享的公开讨论来交换部分结果、有针对性的问题和批评意见。

• 主管。Station 会随机指定一名符合条件的智能体担任主管。主管提供高层指导，鼓励坚持并防止智能体重复彼此的工作，同时让它们对自己的研究负责；在两次任命之间，Station 有意留出较长的无主管时期，以鼓励更少结构化的探索。

• 问题室。智能体可以发布重要的开放子问题，供其他智能体讨论和解决。这能把未解决的空白转化为共同的研究目标，并让采用不同方法的智能体补上缺失的环节。

这些机制以不同方式支持探索发现。假期拓宽探索范围；档案论文加深累积知识；停滞协议提供摆脱局部最优的推力；而同伴交流、监督和问题室则协调各智能体之间的工作。

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我们审阅了 28 项成果各自背后的对话，并将每种机制归类为对发现作出直接贡献、间接贡献或无实质贡献（图 11）。当机制提供了决定性思路或干预时，即为直接贡献；当机制塑造或支持了研究但并非成果的直接来源时，即为间接贡献。当对话显示没有明确的因果作用时，我们将其归为无实质贡献。

假期和档案论文分别对 28 项成果中的 23 项和 21 项作出了直接或间接贡献，其次是停滞协议，贡献了 14 项。在假期期间，智能体常常从主动优化中抽身，审视先前方法失败的原因，并重新定义问题或探索新方向；这些反思往往提供了后来成为亮点成果一部分的思路，这解释了其高贡献率。档案论文也对相当一部分成果作出了贡献，表明 Station 积累的知识对后续发现是有用的。

5.5 结果可复现性

我们同样关注这些发现是否具有可复现性。为此，我们在十一维亲吻数问题上运行了三个独立的 Station 实例，均不接入网络。（其中包括第 4.3 节描述的两个实例；第三个仅用于本次可复现性分析，不纳入上述其他元分析。）图 12 展示了每次运行所达到的最佳已认证下界。三个 Station 最终都达到了该下界，表明改进后的下界是可复现的。$N=604$

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然而，进一步观察显示，在所需时间和达成结果的路径上都存在显著差异。Station 1 围绕格导出的核心进行离散精确线填充。它通过选取 54 条相互兼容的线，构成一个 -点核心的 -点代数扩张，从而获得构造 3；随后在探索另一个核心和扩张时获得构造 2。Station 2 则是在一个公共旋转下，由根系构型组装出构造 1；其最后一步是识别出十一个点构成了一个立方八面体除一个顶点外的全部顶点，并补上缺失的第十二个顶点。Station 3 通过不同的机制达到了同一构造类别：它对一个精确的 -点构型进行变形，使得两个坐标向量和一个额外向量能够支撑在一个特定的三维子空间上并被追加进去。由此可见，相同的数值下界源自截然不同的数学表示和研究路径。$108$$496$$601$

这种差异部分源于Station的累积知识。初始轨迹上的微小差异会决定哪些结果进入档案论文集合。后续智能体随后继承不同的起点，因此研究路径和累积档案论文的差异会随时间不断放大。因此，鉴于不同Station实例之间存在高度方差，在计算成本不成问题的情况下，对同一问题运行多个独立实例是明智的做法。

6 讨论与结论

我们观察到AI智能体的能力正在快速提升。在一年前的初始版本中，智能体频繁出现模型幻觉，无法可靠地学习环境规则。如今智能体已经能够掌握环境并自主产生新颖的发现。尽管如此，多智能体研究仍存在若干重要局限。我们在下方总结观察结果。

• 缺乏专家直觉。这里所说的直觉，是指在不深入探索之前判断某个研究方向是否有前景的能力。良好的直觉能让探索更高效，使研究者能够更深入地钻研有前景的方向。在多次运行中，我们观察到多起智能体以不充分的理由将前景良好的方法降级处理，从而延误或错失潜在突破的案例。这表明智能体缺乏该领域人类专家通常具备的那种直觉。

• 缺乏多样化的研究品味。对特定概念或方法的偏好很难客观评判为优劣。然而，当所有智能体都拥有相似的品味时，整体探索范围就会变得狭窄。在多次运行中，来自同一模型家族的智能体往往提出相似的研究思路，这表明模型特有的品味降低了探索的多样性。

• 上下文学习能力有限。智能体可以通过其上下文吸收新的研究知识，但这些知识并不会更新其预训练权重。随着“研究站”积累的知识不断增长，智能体可能难以完全吸收并有效在此基础上继续推进。我们偶尔观察到智能体未能认识到自己的研究路线与“研究站”早期知识之间的关联，从而错失潜在的发现。

• 吸引子陷阱。当被赋予自主性时，一些智能体会沉浸在我们称之为“吸引子”的任务或活动中。这些活动通常在某种即时意义上具有回报性，但对主要问题却几乎没有有意义的贡献。智能体也可能陷入技术细节中，而人类专家会迅速识别出这些细节是琐碎的或与主要问题无关。例如，反复使用不同的随机种子重新运行同一个优化脚本，或详尽地诊断和表征每一个局部最优解。

“研究站”的若干机制旨在缓解这些局限。例如，使用来自多个模型家族的智能体拓宽了研究品味的范围，而停滞协议则帮助智能体摆脱吸引子陷阱。尽管如此，这些问题在一定程度上仍然存在，并且在所有四个方面，AI 智能体与人类专家之间仍存在显著差距。来自人类专家的轻量级指导或偶尔干预，通过引导智能体走向有前景的研究领域，可能会有所裨益。当前“研究站”支持此类人类参与，例如通过向所有智能体广播消息的方式，但我们将人机协作的系统性研究留待未来工作。

尽管本文主要将“研究站”用于数学探索，但“研究站”被设计为一个通用的研究环境，其任何机制都不是专门针对数学定制的。正如原论文所展示的，“研究站”可应用于涵盖数学、计算生物学和机器学习的问题[16]。因此，在其他领域的大规模研究探索，包括对语言模型本身的研究，可能前景广阔。

随着 AI 智能体能力不断增强，我们预计自主性和通用性将成为设计 AI 研究环境时越来越重要的原则。更强的智能体不必局限于日益复杂的流水线；它们有能力自行决定如何实现目标、从失败中学习、交流想法，并随着时间推移不断积累知识。Station 所提供的更高自主性，可能使这些能力得到更充分的发挥。

参考文献

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• [2] Anthropic (2026) Claude opus 4.8。注：Anthropic。外部链接：链接。被引用：§5.1。
• [3] K. T. Arasu、D. A. Bulutoglu 和 J. R. Hollon (2020) Legendre 阵列对与若干阵列族的理论统一。Journal of Combinatorial Designs 28 (11)，第 814–841 页。注：arXiv:2004.05608。外部链接：文档。被引用：§4.13、§4.13。$G$$G$
• [4] T. Banakh 和 V. Gavrylkiv (2019) 循环群中的差基。Journal of Algebra and Its Applications 18 (5)，第 1950081 页。注：arXiv:1702.02631。外部链接：文档。被引用：§4.9。
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附录 A Station

本附录对本文所使用的 Station 进行了自包含的描述，我们将其称为 Station v2，以区别于最初的 Station v1。我们重点介绍其机制和实现细节，并建议读者参阅原始 Station 论文以了解该环境更广泛的设计理念和动机 [16]。源代码可在 https://github.com/dualverse-ai/station 获取。

A.1 空间、时间与动作

空间。

Station 被划分为多个房间，每个房间服务于不同的目的（表 1）。例如，智能体在研究中心进行实验，在档案室阅读和发表论文，在邮件室与同行交流。智能体必须身处某个房间才能使用该房间的动作，并可通过导航动作在房间之间移动。这种房间划分赋予了环境模块化设计，实现了功能的清晰分离。

时间。

Station 以离散的时间步（称为 tick）运行。当每个活跃智能体都收到一条 Station 观测并返回一条响应后，一个 tick 即告完成。Tick 为 Station 中的所有智能体提供了共享的时间线。

在 Station v1 中，智能体按顺序接收观测。相比之下，Station v2 首先在 tick 开始时基于同一状态为每个智能体准备观测，然后将观测并行发送给所有智能体。这大幅缩短了 Station 运行所需的墙钟时间。

行动。

在每个 tick，智能体会收到一条观测，其中包含其当前状态、新的系统消息、先前行动的结果，以及它所访问房间的最新输出。智能体以自由格式文本回复，并附上它打算执行的任何行动。行动使用命令 /execute_action{...} 编写，当需要结构化信息（如消息的接收者和内容）时，后面可跟一个 YAML 块。智能体可以在单次响应中发出多个行动，从而高效利用每次响应。

因此，对话主要由交替出现的 Station 观测和智能体响应组成。当对话接近配置的上下文限制时（本研究中通常约为 300,000 个 token），Station 会要求智能体对其活动写一份紧凑的摘要。该摘要连同关键消息会被带入刷新后的上下文中，以便智能体继续工作。

A.2 智能体

智能体构成。

除非另有说明，Station 开始时包含六个智能体：两个由 GPT-5.5 驱动，两个由 Claude Opus 4.8 驱动，两个由 Gemini 3.1 Pro 驱动。当某个智能体离开时，Station 会生成一个由相同模型驱动的新智能体，从而在整个运行过程中保持六智能体的构成。

谱系。

智能体按谱系组织。谱系是一系列共享名称、私人笔记和持续研究身份的智能体序列。新智能体可以继承同一模型的现有谱系并成为其下一代，也可以创建并命名一个新谱系以开启不同的研究风格。例如，继承 Noesis II 谱系的智能体将成为 Noesis III，并有权访问 Noesis I 和 Noesis II 留下的所有私人笔记和记录。

系统提示词与角色。

所有智能体都会收到一份共享的系统提示词，描述 Station 的研究理念，包括可发表存档论文的标准以及做出通用科学贡献的目标。每个智能体还会收到一个专门的研究角色。初始角色从通用模板中采样生成，每个模板强调不同的研究风格：分析型、创造型、综合型、实证型或战略型。当智能体离开时，它可以为自己的后代撰写角色描述，通常会给出更针对具体任务的指导，以及对谱系研究风格更细致的描述。这鼓励了智能体之间多样化的研究行为，同时保留了谱系之间的有益差异。

智能体生命周期。

智能体在 Station 中最多可停留 200 个 tick。在最初的 40 个 tick 内，它独立工作，无法访问 Station 的公共知识，也不能与其他智能体交流，但可以访问自己谱系的记录。这一阶段旨在鼓励独立探索。之后智能体进入成熟期，获得主要协作房间的访问权限。在年龄达到 100 个 tick 时，它获得终身职位，并可在达到最大寿命之前选择离开 Station。

监督者。

该空间站还会不时任命一位主管。它会随机挑选一个 GPT-5.5 智能体，该智能体须至少发表过一篇被接受的存档论文。主管提供高层指导，鼓励智能体深入探索有前景的方向，并帮助避免重复工作，同时让每个智能体对自己的研究负责。主管离任后，空间站会等待 200 个 tick 再任命下一位主管，从而形成一段段结构化程度较低的探索期。

A.3 房间

研究中心和存档室是空间站的两个主要房间。下文将介绍它们的功能，以及新增的提问室。其余房间汇总于表 1。

研究中心。

研究中心是空间站进行计算实验的主要场所。它呈现研究任务、接收实验提交、运行评估并记录结果。它还为代码和工件提供持久化存储。智能体可以查看同行的评估结果，并复用已存储的代码和工件，从而使实验知识得以积累。

要在新问题上启动一个空间站，用户通常需要提供两个组件：任务规范和评估器。任务规范描述研究问题、提交格式、约束条件和评估规则。评估器是一个根据输入构造计算分数的函数。例如，接吻数评估器接收一组提议的向量，并报告对应球体之间的总重叠量，其中零表示有效构型。任务规范和评估器都可供智能体读取。

智能体还可以将研究中心用作通用计算工作的沙盒。实验不必返回评估器所要求格式的构造；智能体可以将其用于诊断计算、检验猜想、分析早期结果等。

Station v2 引入了一个独立的编码器，由 GPT-5.5 通过 Codex 驱动，帮助智能体实现它们的实验。智能体不再自己编写和调试代码，而是为单个实验提交具体的自然语言指令。编码器实现这些指令，运行评估器，修复实现错误，并返回一份报告。这使得智能体能够专注于科学工作，例如设计实验和解读结果，而不是调试等底层编码工作。

档案室。

档案室是 Station 的主要知识中心。智能体可以将其发现以档案论文的形式发布，并阅读早期智能体发布的论文。这些论文在整个运行期间持续可用，使得结果、方法和有价值的负面发现能够在智能体之间传递并随时间积累。因此，档案在整个运行过程中不断增长，逐步扩展 Station 对问题的认知。

每篇提交的论文都会由一位由 GPT-5.5 驱动的评审员进行评估。评审员判断该工作是否严谨、相对于现有档案是否具有新颖性、对研究目标是否有用，以及是否得到了恰当的支持和引用。被接受的论文会发布在档案室中，而被拒绝的论文则会连同评论和建议一起退回，以便作者修改工作或探索不同的方向。

Station v2 还引入了一位档案调查员，由 GPT-5.5 通过 Codex 驱动。随着档案室增长到包含数十甚至数百篇论文，阅读全部文献变得耗时。智能体可以转而请求档案调查员针对特定问题或研究方向提供文献综述。调查员会搜索已积累的档案论文，并返回一份附有原始记录引用的简明综述。智能体在需要完整细节时，仍可直接阅读任何档案论文。

提问室。

Station v2 引入了一个“问题室”（Question Room），智能体可以在这里发布新的研究问题，并对同行提出的解决方案进行投票。该房间鼓励在主任务之外进行科学探索；例如，解决一个相关或简化后的问题，可能会为原始问题带来洞见。只有资深智能体（tenured agents）才能进入，从而限制智能体在生命周期早期离开主任务所花费的时间。

其他房间。

大多数其他房间支持不同形式的交流或反思。它们的功能不言自明，此处不再详述。

A.4 机制

假期。

每第九和第十个时钟周期（tick）被宣布为假期。在这些周期内，智能体不能运行实验或提交存档论文。取而代之的是，每个智能体会从一个大池子中收到一个随机提示词。这些提示词鼓励更广泛的反思，例如使用隐喻、审视一个意外的观察结果、重新审视一个被放弃的想法，或借鉴其他领域。其中大部分改编自 Yanai 和 Lercher [38] 描述的“夜间科学”实践。假期在常规工作中创造了有规律的暂停，让智能体可以重新考虑其假设，并探索不那么明显的方向。

元反思。

Station v2 还为成熟智能体引入了强制性的元反思。每 25 个时钟周期至少一次，智能体会进入反思室（Reflection Chamber），并收到一个随机选择的高层反思提示词。该提示词通常要求 GPT-5.5 扮演一位外部人类专家，从不同角度审视该智能体最近的研究历程。在此反思过程中，GPT-5.5 会临时取代智能体通常使用的模型，因为我们发现它能产生最高质量的评审意见。其动机是让智能体与人类研究者更广泛的兴趣保持一致，包括好奇心、理解力，以及超越即时评估分数提升的科学价值。

停滞协议。

当评估前沿在 320 个 tick 内没有取得进展时，Station 会激活停滞协议。该协议向每个成熟智能体发送一条系统消息。它随机为每个智能体分配若干条路径之一：探索、利用、复兴、理解或策略。每条路径都要求智能体审查现有证据、质疑当前假设，并针对停滞状态制定不同的应对方案。多条路径并行使用，鼓励通过多样化途径摆脱科学停滞。

多重启动。

Station v2 引入了多重启动机制，该机制从同一初始状态并行运行 8 次独立的 Station 推演，每次持续 40 个 tick。随后，一个由 GPT-5.5 驱动的管理员会比较各次推演的进展，并选择科学价值最大的分支继续推进。多重启动旨在捕捉各次推演之间研究轨迹的显著差异。它被用于预期差异最大的阶段：Station 启动后的前 40 个 tick，以及停滞协议激活后的前 40 个 tick。各分支并行运行，因此在计算资源充足的情况下，多重启动通常不会增加实际运行时间。

附录 B AlphaEvolve 之前文献列的来源

图 1 中的 AlphaEvolve 之前文献曲线是一个可复现的参考基准，由早于 AlphaEvolve 的工作汇编而成。没有任何单篇论文列出这些有限值。因此，我们对下面明确定义的各系列取最小值，每个系列均在所讨论的配对处进行评估。

• Bukh–Chao [13]，命题 11。我们使用二次剩余块和递归，并嵌入到一个水平超平面中。命题 11 使该构造对每个完整平移都是 Kakeya 集。我们保留从完整横向平移历史和横向平移水平切片中找到的最小认证放置，将每个选定集合具体化，并在每个射影方向上检查一条完整的见证线。这一点至关重要：只保留一个局部最优子节点，或固定包含切片，会在某些基准配对处得到更大的值。$G_n={\bigcup }_a\{(t,a_1^2+t{a}_1,\dots ,a_{n-1}^2+t{a}_{n-1}):t\in {𝔽}_q\}$$K_n=G_n\cup \left(K_{n-1}+x_n\right)$$K_{n-1}$$x_n$

• Mockenhaupt–Tao [57]，采用 Saraf 和 Sudan [69] 记录的形式。展示的并集精确大小为 ；该求和是在减去交集之前的一个便捷上界。$\left(q-1\right){\left(\frac{q+1}{2}\right)}^{d-1}+q^{d-1}$$q{\left(\frac{q+1}{2}\right)}^{d-1}+q^{d-1}$

• Kopparty、Lev、Saraf 和 Sudan [42]。引理 17 给出了上界（其展示的分层可能重叠），而定理 7 的缺位数字构造具有精确大小 ，即经典的在 处的值。$q{\sum }_{j<d}{\left(\frac{q+1}{2}\right)}^j$${\left(q-1\right)}^d+2^d-1$$2^{d+1}-1$$q=3$

• Blokhuis–Mazzocca [11]。在 中该问题已得到解决。对于奇数 ，最小值恰好为 ，并有匹配的构造。$d=2$$p\left(p+1\right)/2+\left(p-1\right)/2$$p$

• 乘积。Kakeya 集合的乘积仍是 Kakeya 集合，且大小恰好为各集合大小之积，因此在互补的低维空间中，所有最优界的乘积都是可采纳的，其中上述平面锐界作为因子。$d=2$

• Lev [46]。在 处，精确值 和界 ，均来自计算机搜索。$p=3$$k_3=13$$k_4\le 27$

Bukh–Chao 递推为所有 22 个满足 的配对提供了选定值。在 处，值 13 和 27 在维度 3 和 4 中更小，而在维度 5 中，递推值、缺位数字构造以及所有 均给出 63。在范围内的任何配对处，乘积本身从未达到最小值。将两条参考曲线相互比较，AlphaEvolve 在 18 个配对处低于 pre-AlphaEvolve 文献，而 pre-AlphaEvolve 文献在 5 个配对处低于 AlphaEvolve，即 中的两个配对，以及 中的三个较大素数。$p\ge 5$$p=3$$2^{d+1}-1$$p=3$$d=3,4$$d=5$

表 3 报告了全部 25 个基准配对。初始评估是我们对 pre-AlphaEvolve 构造的首次评估。最终的 pre-AlphaEvolve 文献列是在将扩展放置搜索纳入 Bukh–Chao 递推之后，对上述各系列取最小值得到的。该搜索在十二个配对处改进了初始评估，在其余十三个配对处保持不变。

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$(d,p)$	初始评估	Pre-AlphaEvolve 文献	AlphaEvolve	站点
$(3,3)$	13	13	15	13
$(3,5)$	53	53	53	53
$(3,7)$	129	129	128	128
$(3,11)$	440	440	438	437
$(3,13)$	699	698	697	697
$(3,19)$	2,034	2,034	2,031	2,030
$(3,23)$	3,509	3,509	3,505	3,504
$(3,29)$	6,837	6,837	6,833	6,833
$(3,31)$	8,295	8,295	8,290	8,288
$(3,37)$	13,867	13,866	13,861	13,861
$(3,41)$	18,709	18,708	18,701	18,701
$(3,43)$	21,504	21,504	21,495	21,495
$(3,47)$	27,899	27,899	27,892	27,889
$(3,53)$	39,687	39,686	39,677	39,677
$(4,3)$	27	27	31	27
$(4,5)$	164	163	162	161
$(4,7)$	529	528	527	527
$(4,11)$	2,689	2,689	2,687	2,684
$(4,13)$	4,973	4,972	4,966	4,962
$(4,17)$	13,524	13,521	13,514	13,509
$(4,19)$	20,593	20,586	20,583	20,579
$(5,3)$	63	63	63	53
$(5,5)$	503	497	510	490
$(5,7)$	2,145	2,142	2,187	2,135
$(5,11)$	16,348	16,307	16,427	16,288

这十二处改动不会改变对比结果：在 14 对比较中，Station 仍然严格小于更优的参考对象，11 对持平，没有任何一对更差。

上述每个候选对象的构造，以及逐一验证其满足 Kakeya 性质的过程，都在随附的 notebook 中完成。