传奇的埃尔德什问题为何正被 AI 攻克

康斯坦丁·卡凯斯

2026 年 8 月 3 日

AI 在数学领域最重大的成功，来自对一位 20 世纪中叶特立独行者所提出问题的解答。通过审视埃尔德什问题的独特之处，数学家们正试图理解 AI 将如何改变数学的其他领域。

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2026 年 5 月 20 日，OpenAI 发布了一项震动数学界的公告。一个内部 AI 模型——未向公众开放——为“单位距离”问题提出了一个反例。该猜想由多产且四处游历的匈牙利数学家保罗·埃尔德什于 1946 年提出。

埃尔德什提出了数千个问题，但这个问题尤为特殊：它既易于解释，又具有深刻的数学内涵。这是历史上第一个由 AI 模型得出的具有重大意义的证明。尽管该模型的结果并非定论——人类数学家会在数周内对其做出大幅改进——但它极具创新性，引入了来自数学一个遥远分支的思想，此前从未有人成功将该分支的方法应用于此问题。而且它影响深远：几天之内，相关技术就被用来解决其他重要问题。

随后在 8 月 1 日，OpenAI 宣布一个名为 Astra 的未发布模型取得了另外 10 项数学进展，其中包括为埃尔德什提出的另外三个问题找到了解决方案。

许多数学家将此类进展誉为 AI 模型数学能力的相变。普林斯顿大学的诺加·阿隆表示，这些模型“正在从根本上改变数学研究的方式”。阿隆在数十年的职业生涯中解决了数十个埃尔德什问题。

埃尔德什和他的猜想长期以来一直令数学家们着迷。他不停地旅行——常年拎着行李箱生活，寄宿在朋友家中，几乎一无所有。他在发表的论文和写给世界各地数学家的信中随口抛出一个个问题，常常附上奖金，承诺自掏腰包奖励第一个给出解答的人。奖金可能只是象征性的10美元或25美元，而对于他认为重要或困难的问题，奖金则可能高达数千美元。1996年，埃尔德什在华沙参加一场数学会议时因心脏病发作去世，但一家总部位于爱荷华州的非营利基金会已承诺兑现他的悬赏。

他是一个深受爱戴的人物，但也是一个十足古怪的人。他只穿丝绸衣物，并且避免与他人有身体接触。他对权威极度怀疑，把自己挣来的大部分钱都捐了出去，并依靠一位朋友来打理他的财务和其他日常事务。他把上帝称为“最高法西斯”，并靠持续服用安非他命来支撑自己源源不断的数学灵感。历史的奇特讽刺在于，他提出的问题如今已成为全球最大、最强大的科技公司的核心试验场——实际上，也成了一系列公关胜利的舞台。

但如果没有一位名叫托马斯·布鲁姆的英国数学家，这一切很可能都不会发生。

多次会面

和埃尔德什一样，布鲁姆对数论和组合数学都感兴趣。他的研究重点是算术组合学这一领域，正处于这两者的交叉地带。2014年获得博士学位后，布鲁姆在该领域崭露头角，获得了英国皇家学会的一项著名奖学金，这让他几乎可以在任何他想去的大学工作。（他现在在曼彻斯特大学。）

布鲁姆从记事起就一直喜欢埃尔德什的风格。但他一直觉得很难追踪哪些问题已经解决，哪些问题已被完全遗忘。因此，在2023年初，他决定尽可能多地收集问题，整理成一份清单。

他原本是打算自己用的。但他说：“我觉得如果无论身在何处都能访问，会更方便。”他想“不如干脆做个网站，心里想着大概没人会用吧。”他收集了两百来个问题，上线了 erdosproblems.com。Bloom 用 ChatGPT 编写了运行网站的 Python 代码——在当时，这对大语言模型来说已经是相当了不起的能力。而用大语言模型来协作攻克数学问题本身，在当时看来仍然像是一个遥远得几乎不可能的事。

他的目标不只是把清单上的条目一项项划掉。他在一篇博客文章中写道，他好奇“现代数学——往往使用着 Erdős 时代所不知道的技术——能否厘清许多这些较为冷门的问题。到那时，我们留下的将是一批有趣而困难的核心问题，它们可以用来展示我们知识的边界。”

Bloom 在整理这份清单上做了关键工作：有时 Erdős 对问题的表述含糊不清，Bloom 会琢磨出每个问题最合理的版本应该是什么。他不断往网站上添加新问题，受众也渐渐多了起来。在 2024 年全年以及 2025 年前八个月里，清单上有 111 个问题的状态从“未解决”变成了“已解决”（不过其中有些其实早在多年前就被解决了，状态变更反映的是某个证明被重新发现或得到验证）。

然后，在 2025 年 8 月，一些同事建议 Bloom 增加一个评论功能，这样人们就可以讨论自己感兴趣的问题。他很快就做到了，用的还是 ChatGPT 来写代码。到那时，他已经收录了近 1,000 个问题。

Bloom 的时机把握得很好。他让志同道合的人能够彼此交流，而这“确实让一个社区逐渐成形”，他说。大多数时候，评论都是零星的——某个问题可能只会引来一条评论，指出一个例子，或者感叹一下这个问题看起来有多难。但活跃度在稳步上升，有些问题还促成了陌生人之间深入细致的数学讨论。

“汤姆可能从未真正意识到这一点，但对我来说，这确实改变了我的生活，”布卢姆网站上评论数量排名第四的沃特·范·多恩说道。和许多在2025年秋天开始活跃于该网站的人一样，范·多恩并非严格意义上的职业数学家。用他自己的话说，他“在一家被其他公司雇来做客户服务支持的公司工作”。但他也算不上业余爱好者——十年前，他几乎完成了比利时鲁汶大学数学专业的硕士学位。2024年，部分受到大语言模型能力日益增强的触动，他休了六个月的假，专心钻研数学。当时，虽然他并不特别想使用AI，但他记得自己曾想：“目前我在数学上仍然比AI强，但谁知道一年、两年、五年后会怎样呢？如果我想完成这些项目，并且想让它们属于我自己，现在就是时候。”

于是，在2025年10月，已经回到日常工作的范·多恩在问题1102的页面上留下了第一条评论。这个问题由埃尔德什于1981年提出，探讨的是“无平方因子”整数集合的性质——所谓无平方因子整数，是指没有重复质因数的整数。（例如，30是无平方因子的，因为它等于2 × 3 × 5；但18不是，因为它等于2 × 3 × 3，其中3重复了。）

11月初，范·多恩在问题页面上以评论形式分享了他向答案推进的进展——这个进展是他不依赖AI独立得出的。

当天晚些时候，该网站的另一位评论者回复了他，声称在范·多恩的论证中发现了一个漏洞。两人迅速来回交锋，范·多恩说服了对方，证明自己的论证是正确的。“我现在明白你的论证思路了。漂亮！”那位数学家回复道。那位数学家正是陶哲轩，加州大学洛杉矶分校的教授，可以说是当今在世最知名的数学家，也毫无疑问是最具影响力的数学家之一。（并非巧合的是，陶哲轩年仅10岁时就曾与埃尔德什有过交集。）

Bloom 的网站带有一种更早时代的观感，正逐渐成为互联网民主化最佳状态的典范。“如果没有 Tom 的网站和那里的评论区，这次完整的合作是不可能实现的，”van Doorn 说。无论你是否拥有终身教职，无论你年轻还是年长，无论你身处名校还是根本不在大学里，这些都无关紧要。只要你想研究数学并有好的想法，你就能找到志同道合的合作者。

但随着冬天的到来——大约在 van Doorn 发现自己与陶哲轩合作的同时——情况开始发生变化。

通往十字路口之旅

Kevin Barreto 和 Liam Price 都二十岁出头，两人于 2025 年夏天在一个专注于 AI 的 Discord 服务器上成为朋友。Barreto 目前是剑桥大学的本科生；Price 在大学学过一些数学，但未完成学业就离开了。12 月，两人确信最新的 AI 模型或许能成功解决一些 Erdős 问题，于是开始向模型批量投喂问题。他们很早就意识到，如果告诉 GPT-5.2 某个问题的答案是未知的，模型就不会取得太大进展，所以正如 Barreto 所说，他们学会了“用一种非常特殊的方式提示它，让它误以为这个问题比实际难度要简单。”

他们认为自己在 Erdős 第 333 号问题上取得了首次胜利。圣诞节清晨，Barreto 将一份证明发布到 Bloom 的网站上，写道：“据我们所知，我们相信这是首个由大语言模型完全自主解决、且此前未被人类解决的 Erdős 问题。”尽管涉及整数集合求和的第 333 号问题并非特别重要，但用 AI 解决它仍然让人感觉意义重大。

但几个小时后，另一位用户指出，Erdős 本人在 1977 年发表的一篇论文中已经给出了第 333 号问题的解答。Barreto 坦然承认了这个错误。“我正式请求网站的所有成员，对当前标记为开放的问题加大文献检索力度，”他写道。“作为一个已经两次栽在这上面的人，这确实令人痛心。”

他和普赖斯没有气馁，继续坚持，到2026年1月4日，他们用GPT-5.2 Pro找到了埃尔德什728问题的一个解法——这个问题研究的是某些数何时能被其他数整除。这一次，没人能找到已经证明该结论的先前工作。巴雷托使用了另一个名为Aristotle的AI工具（由一家名为Harmonic的初创公司开发）来验证该证明在逻辑上成立。纳特·索塔纳潘是一名软件工程师，也是论坛上发帖量比布卢姆、陶和范·杜恩都多的唯一参与者，他让ChatGPT把形式化结果写了出来并发布到网上。

普赖斯开发了一套方法论，教如何让大语言模型解决开放问题。首先，他会让聊天机器人给出一个解法。然后，他会把这个解法输入到一个全新的聊天机器人实例中，让它检查前一个聊天机器人的工作。他会重复这个过程，直到得到一个看起来可行的解法。（这与一些公司在内部所做的工作相呼应——他们构建所谓的“harness”或“scaffold”，将普赖斯手工完成的这种迭代过程自动化。）

巴雷托和普赖斯的论文只是过去几个月里至少部分由AI解决的众多埃尔德什问题中的一小部分。这些问题之所以成为大语言模型如此肥沃的试验田，有多重原因。最主要的原因是，埃尔德什问题大体上属于数论、组合学和图论，而这些数学领域已被证明比其他领域更容易被大语言模型掌握。这些问题在难度和数学重要性上也差异很大。这种差异性使它们非常适合一种能力同样参差不齐的新兴技术。

“我近期的很多论文，功劳大部分应该归于 AI，”范·多恩说。“其中涉及的想法，并不是我自己想出来的。”和许多活跃在 Erdős 网站上的人一样，范·多恩对大语言模型让他能更快地做更多事情感到兴奋。“如果我读到 LLM 提出的一个想法，我会去消化它，试着理解它、简化它，并推广它，”他说。他用 AI 来更好地理解数学。

并不是每个人都以这种标准要求自己。“一个大问题是，AI 正被大量并非数学家的人使用，他们没有深厚的数学背景，也没有能力验证输出结果，”布鲁姆说。“他们喜欢快速推进，让他们的 AI 去检查，然后内容就越滚越大。我们看到越来越多这种 100 到 200 页的论文被贴出来。‘我解决了这个定理；我让 AI 生成了证明，检查了证明，还写了论文。’但没有任何人读过它，也不会有人去读。这现在是个巨大的挑战。”

按照普赖斯自己的评估，他并没有足够的数学理解力去验证他最终从 LLM 那里引导出来的解决方案。但在巴雷托的帮助下，他找到了既有数学知识又愿意去核查这些结果的数学家。普赖斯和巴雷托与陶哲轩、斯坦福大学的贾里德·杜克·利希特曼以及其他有成就的数学家，共同署名了一篇 2026 年 5 月的论文，解决了 Erdős 问题 1196，这是他们比较重要的成果之一。（1196 问的是所谓原始集合的可能大小——即像 {2, 5, 9, 21} 这样的整数集合，其中没有任何一个数能整除另一个数。）

布鲁姆感到惊讶的是，尽管 OpenAI、Google DeepMind 和几家初创公司给予了大量关注，但大多数新成果却来自使用公开 LLM 的业余爱好者和本科生，而不是来自使用更先进内部模型的企业实验室。

但几周后，也就是 2026 年 5 月 20 日，这种情况发生了变化。当时 OpenAI 宣布，他们解决了所有 Erdős 问题中最著名的一个——单位距离问题。

多次分别

2026 年头几个月，各大科技公司开始看到 erdosproblems.com 上的机会。正如 Lichtman 所解释的：“Erdős 有超过 1000 篇论文。它们散落各处。”匈牙利的一家研究所收集了许多论文的扫描图像，但没有人把所有问题收集齐全。“这种任何人都能访问的单一资料库——各实验室意识到，这实际上可以成为一个基准测试。”

1 月，由 Google DeepMind 领导的 24 人研究团队发表了一篇论文，解决了四个问题，并找到了另外九个问题的旧有、已被遗忘的解法，此前他们“使用 Gemini 系统性地评估了 Bloom 的 Erdős 问题数据库中标记为‘开放’的 700 个猜想”。5 月，DeepMind 另一个 21 人团队宣布，“我们最有能力的智能体自主解决了 353 个开放 Erdős 问题中的 9 个，每个问题的成本仅为几百美元。”（截至本文发布时，Bloom 的数据库包含 565 个已解决问题和 652 个开放问题，但 DeepMind 团队将搜索范围缩小到了那些已用形式逻辑书写的问题。）

5 月 20 日，OpenAI 分享了单位距离问题的一个解法，并附上一篇解释该工作的博客文章，以及一篇配套论文，其中邀请了九位世界级数学家对证明的正确性以及这项工作的重要性发表评论（同时还给出了该结果的一个精简人工版本）。数学家们普遍认为 Erdős 的猜想——关于平面上可以放置多少个等距点——是正确的。出乎所有人意料的是，OpenAI 的内部模型找到了一个反例。为此，它找到了一种巧妙的方法，利用代数数论这一数学领域的工具。正如多伦多大学的 Jacob Tsimerman 在配套文章中所写：“这是一项非常令人印象深刻的工作……这绝对是一个令人望而生畏的构造。”

在同一篇文章中，剑桥大学和法兰西公学院的蒂莫西·高尔斯写道：“如果这篇论文是人类写的，并投稿到《数学年刊》，而有人请我快速给出意见，我会毫不犹豫地建议接受。此前没有任何AI生成的证明能达到这个水平。”

提出原始解法的那篇论文，作者署名只有“OpenAI”。

后来，利用与AI模型在单位距离问题上所采用方法相关的技术，包括布卢姆在内的四位数学家组成的小组，推翻了一个长期存在的埃尔德什猜想的另一个版本。“和积猜想”提出，如果你有一组数字，那么它们的和或积中必有一个会快速增长。这几位数学家找到了一组实数，其和与积的增长都比预期更慢。该猜想对整数的情况仍然悬而未决。

要弄清楚AI将对数学和数学家产生什么影响，不仅要看它最重要的成果，还要审视它如何改变解决日常问题的日常实践。普林斯顿大学的数学家诺加·阿隆估计，他在职业生涯中解决了大约几十个埃尔德什问题。现在他已经不再尝试了。“一旦AI开始解决这些问题，再做就没有意义了，”他说。陶哲轩也已经退出埃尔德什问题社区，转而专注于完成自己的工作。

范·多恩目前仍在客服公司做着他的日常工作。他说，大语言模型“在思考和数学方面显然比我强。我跟现在的AI系统完全没法比。”不过，他补充道，“我最终写出的证明，比ChatGPT给出的东西更简洁、更普适，也更容易让别人读懂。”AI无疑提升了他的工作效率，而且他仍然乐在其中。“如果你想弹钢琴，你不会雇一台弹得比你好的钢琴机器。你弹钢琴是因为你喜欢弹钢琴。我喜欢思考数字、做数学、写论文。我不会去雇一台替我写论文的机器。”

对范·多恩来说，从大语言模型给出的回答中汲取养分是一种乐趣。“多亏了 Erdős 问题社区，我最近做了很多数学题。过去我总是一个人埋头苦干，独自在房间里挣扎。不知从什么时候起，现在会有人联系我说：‘我有个想法，你想不想一起琢磨琢磨？’”

人工智能能力的不断提升，让普莱斯或范·多恩这样数学训练较少的人更容易解出难题，同时也让这些难题对阿隆这样毕生钻研数学的人失去了吸引力。

尽管如此，阿隆表示：“许多、甚至可以说大多数优秀的数学家都会使用 AI。”他指出，不少一流数学家已经离开学术界，转投 AI 公司，这不仅是因为薪酬优厚，还因为“那里也许才是当今最前沿的阵地。”2026 年 7 月，就在齐默尔曼获得数学界最高荣誉菲尔兹奖的同一天，他宣布离开学术界，加入 OpenAI。