An OpenAI model has disproved a central conjecture in discrete geometry | OpenAI

一个 OpenAI 模型推翻了一个离散几何中的核心猜想 | OpenAI

May 20, 2026

2026 年 5 月 20 日

ResearchMilestone

研究里程碑

An OpenAI model has disproved a central conjecture in discrete geometry

一个 OpenAI 模型推翻了一个离散几何中的核心猜想

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For nearly 80 years, mathematicians have studied a deceptively simple question: if you place $n$n points in the plane, how many pairs of points can be exactly distance $1$1 apart?

近 80 年来，数学家们一直在研究一个看似简单的问题：如果你在平面上放置 $n$ 个点，那么有多少对点之间的距离恰好是 $1$？

This is the planar unit distance problem, first posed by Paul Erdős in 1946. It is one of the best-known questions in combinatorial geometry, easy to state and remarkably difficult to resolve. The 2005 book Research Problems in Discrete Geometry, by Brass, Moser, and Pach, calls it “possibly the best known (and simplest to explain) problem in combinatorial geometry.” Noga Alon, a leading combinatorialist at Princeton, describes it as “one of Erdős’ favorite problems.” Erdős even offered a monetary prize for resolving this problem.

这就是平面单位距离问题，由 Paul Erdős 于 1946 年首次提出。它是组合几何中最为知名的问题之一，陈述简单，却极难解决。Brass、Moser 和 Pach 合著的 2005 年著作《离散几何研究问题》称其为“可能是组合几何中最著名（也最容易解释）的问题”。普林斯顿大学著名组合学家 Noga Alon 将其描述为“Erdős 最喜欢的问题之一”。Erdős 甚至为解决这个问题设立了现金奖。

Today, we share a breakthrough on the unit distance problem. Since Erdős’s original work, the prevailing belief has been that the “square grid” constructions depicted further below were essentially optimal for maximizing the number of unit-distance pairs. An internal OpenAI model has disproved this longstanding conjecture, providing an infinite family of examples that yield a polynomial improvement. The proof has been checked by a group of external mathematicians. They have also written a companion paper explaining the argument and providing further background and context for the significance of the result.

今天，我们分享一个关于单位距离问题的突破。自 Erdős 的原始工作以来，人们普遍认为下文展示的“方格”构造在最大化单位距离对数量方面本质上是最优的。一个 OpenAI 内部模型推翻了这一长期存在的猜想，给出了一个无限族例子，实现了多项式级别的改进。该证明已由一组外部数学家验证。他们还撰写了一篇配套论文，解释论证过程，并为该结果的重要意义提供了更多背景和上下文。

The result is also notable for how it was found. The proof came from a new general-purpose reasoning model, rather than from a system trained specifically for mathematics, scaffolded to search through proof strategies, or targeted at the unit distance problem in particular. As part of a broader effort to test whether advanced models can contribute to frontier research, we evaluated it on a collection of Erdős problems. In this case, it produced a proof resolving the open problem.

这一结果之所以引人注目，还在于其发现方式。该证明来自一个新的通用推理模型，而非一个专门针对数学训练、通过框架搜索证明策略、或特别针对单位距离问题的系统。作为测试先进模型能否为前沿研究做出贡献的更广泛努力的一部分，我们在一组 Erdős 问题上对该模型进行了评估。在这个案例中，它生成了一个证明，解决了这个开放问题。

这个证明对数学界和AI界来说都是一个重要的里程碑。它标志着首次有一个数学子领域的核心知名开放问题被AI自主解决。同时，它也展示了这些系统当前所支持的推理深度。数学为推理提供了一个特别清晰的试验场：问题精确，潜在的证明可以被检验，而一个长篇论证只有在推理从头到尾都站得住脚时才能成立。解决该问题的方法同样值得注意。该证明将来自代数数论的出人意料且精妙的思想，应用于一个基础的几何问题。

菲尔兹奖得主Tim Gowers在配套论文中称这一成果是“AI数学领域的一个里程碑”。著名数论学家Arul Shankar表示：“在我看来，这篇论文证明了当前AI模型已不仅仅是对人类数学家的辅助——它们能够产生原创性的巧妙想法，并将其付诸实现。”

数学家们对这项成果的评价

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“这是Erdős最喜爱的问题之一，我曾亲耳听到他在讲座中多次提及。我认为可以公平地说，每一位从事组合几何研究的数学家都思考过这个问题，许多其他领域的数学家也至少花过一些时间思考它……在我看来，由OpenAI的内部模型解决这个问题是一项杰出的成就，解决了一个长期悬而未决的开放问题。正确答案不是$n^{1 + o \left(\right. 1 \left.\right)}$n 1+o(1)这一事实令人惊讶，而其构造和证明分析以优雅而巧妙的方式应用了来自代数数论的相当精深的工具。”

Noga Alon

“毫无疑问，单位距离问题的解决是AI数学的一个里程碑：如果这篇论文是由人类撰写并提交给《数学年刊》，而有人请我给出快速意见，我会毫不犹豫地推荐接收。此前没有任何AI生成的证明能达到这种水平。”

Tim Gowers

“该模型的CoT非常有趣。值得注意的是，绝大多数思考过程都在尝试构造一个反例来反驳被广泛接受的上界，而非试图证明它。这表明模型具备某种组合能力：良好的直觉、愿意尝试被学界视为希望渺茫的方法，以及倾向于进行构造性尝试……在我看来，这篇论文表明当前的AI模型已不仅仅是人类数学家的辅助工具——它们能够产生原创性的巧妙想法，并将其付诸实现。”

——Arul Shankar

“这是一项令人印象非常深刻的工作，我会毫不犹豫地接受它发表在任何期刊上。实际上我曾简短地研究过这个问题，并试图构造一个反例，但未能取得进展……即便你知道其中的原理，这也是一个令人望而生畏的构造过程，而自己动手去探索则更加困难。”

——Jacob Tsimerman

Noga Alon Tim Gowers Arul Shankar Jacob Tsimerman

Noga Alon Tim Gowers Arul Shankar Jacob Tsimerman

证明可在此处获取⁠(opens in a new window)。由顶尖外部数学家撰写的配套论文可在此处获取⁠(opens in a new window)。你可以在以下链接找到模型思维链的精简版本⁠(opens in a new window)。

此前已知的基于缩放正方形网格构造多个单位距离的方法。

单位距离问题

令 \(u(n)\) 为平面上 \(n\) 个点之间单位距离对数的最大可能值。达到线性增长速率的例子很容易构造：将 \(n\) 个点放在一条直线上得到 \(n-1\) 对，而正方形网格给出大约 \(2n\) 对。此前最佳已知构造来自一个缩放后的正方形网格，结果甚至更多：\(n^{1 + C / \log\log n}\)，其中 \(C\) 为常数。由于 \(\log\log n\) 随 \(n\) 趋于无穷，指数中的附加项趋于 \(0\)，意味着这些构造仅实现略快于线性的增长。几十年来，人们普遍认为这个速率本质上是最优的，没有任何构造能显著优于正方形网格。从技术上讲，Erdős 猜想上界为 \(n^{1+o(1)}\)，其中附加的 \(o(1)\) 表示随 \(n\) 趋于 \(0\) 的项。

我们的新结果推翻了这一猜想。更精确地说，对于无穷多个 \(n\)，该证明构造了 \(n\) 个点的配置，其单位距离对数至少为 \(n^{1+\delta}\)，其中 \(\delta > 0\) 为某个固定指数。（最初的 AI 证明未给出显式的 \(\delta\)，但普林斯顿数学教授 Will Sawin 即将发布的改进表明可取 \(\delta = 0.014\)。）

该问题的历史有助于理解为何这一结果令人惊讶。自 Erdős 在 1946 年的原始构造以来，最佳已知下界基本未变。最佳上界 \(O(n^{4/3})\) 可追溯到 1984 年 Spencer、Szemerédi 和 Trotter 的工作，尽管后来 Székely、Katz 和 Silier、Pach、Raz、Solymosi 以及其他人进行了改进和相关的结构性工作，但上界基本上保持不变。作为支持该猜想的证据，Matoušek 和 Alon-Bucić-Sauermann 研究了平面中非欧几里得距离的问题，并证明了这些非欧几里得距离中“大多数”在某种意义上符合该猜想。令人惊讶的是，该构造的关键要素来自一个非常不同的数学分支——代数数论，它研究整数扩域（即代数数域）中的因式分解等概念。

在验证初步证明之后，我们研究了模型在不同测试时计算量下解决该问题的成功率。结果如下所示。

来自代数数论的新技术

在宏观层面，该证明从一个熟悉的几何思想出发，并将其推向了一个意想不到的方向。

Erdős 的原始下界可以通过高斯整数来理解：即形如 $a + bi$ 的数，其中 $a$ 和 $b$ 是整数，$i$ 是 -1 的平方根。高斯整数扩展了普通整数，并且像普通整数一样，享有诸如素数唯一分解之类的性质。这种对普通整数或有理数的扩展被称为代数数域。新的论证用代数数论中更复杂的推广来取代高斯整数，这些推广具有更丰富的对称性，能够产生更多单位长度的差值。

具体的论证使用了诸如无穷类域塔和 Golod–Shafarevich 理论等工具，以证明论证所需的数域确实存在。这些概念在代数数论学家中广为人知，但它们竟然对欧几里得平面中的几何问题具有启示意义，这令大家十分惊讶。

这对数学意味着什么

这一结果标志着人工智能与数学互动的重要时刻：一个 AI 系统自主解决了一个活跃领域中心长期悬而未决的开放问题。同时，它也初步展现了人类数学家与 AI 之间一种新型合作方式的雏形。在此案例中，由外部数学家撰写的配套论文比原始解本身描绘了远为丰富的图景。

正如 Thomas Bloom 在配套笔记中所写：

“在评估一个 AI 生成的证明的重要性和影响力时，我问自己的一个问题是：它是否教会了我们关于这个问题的新的东西？我们现在是否更好地理解了离散几何？我认为答案是适度的肯定：这表明数论构造在这类问题上的作用远比我们之前猜测的要大；而且，所需的数论知识可以非常深奥。毫无疑问，未来几个月里，许多代数数论学家将仔细审视离散几何中的其他开放问题。”

代数数论与离散几何之间出人意料的联系，正是该解答引人注目的原因之一。它不仅仅解决了一个具体的猜想，更可能为数学家提供一座桥梁，去探索更多相关的问题。

Bloom 还指出了更广阔的可能性：

“知识的边界是参差不齐的，毫无疑问，在未来数月乃至数年间，我们会在许多其他数学领域看到类似的成功——那些长期悬而未决的开放性问题，将由 AI 揭示出意想不到的联系、并将现有技术能力推至极限后得到解决。AI 正在帮助我们更充分地探索我们数百年间构建起的数学大教堂；还有哪些未被发现的奇观正在幕后等待？”

这一结果提供了一个令人振奋的范例：AI 不仅贡献了解决方案，更带来了一项数学发现，其意义通过后续的人类理解而愈发清晰与丰富。

为何这很重要

其启示意义远超这一具体成果。更强的数学推理能力可以让 AI 成为更出色的研究伙伴：它能够维系复杂的思路线条，连接相隔遥远的知识领域，揭示专家可能尚未重视的、有前景的路径，并帮助研究人员在那些原本过于复杂或耗时的问题上取得进展。

这些能力的重要性远不止于数学。如果一个模型能够保持复杂论证的一致性，连接相隔遥远的知识领域，并产出经得起专家审视的成果，那么这些能力在生物学、物理学、材料科学、工程学和医学中同样有用，它们也是我们迈向更自动化研究的长期路径的一部分——即那些能够帮助科学家和工程师探索更多想法、攻克更困难技术问题的系统。

AI 即将在研究中的创造性部分发挥非常重要的作用，而最重要的是，在 AI 研究本身中。尽管这一进展并不令人意外，但它强化了我们理解 AI 发展下一阶段、对齐高度智能系统的挑战，以及人机协作未来的紧迫感。

那个未来仍然取决于人类的判断。专业知识变得更加宝贵，而非相反。AI 可以帮助搜索、建议和验证。而人类则负责选择那些真正重要的问题、解读结果，并决定接下来该探索什么。

2026

作者

OpenAI

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